2008年上海市长宁区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

方程4^x-3=0的解为    ．

2. 难度：中等

不等式的解集为（-∞，-1）∪（2，+∞），则a=    ．

3. 难度：中等

数列{a_n}中，前n项和S_n=2ⁿ（n为正整数），则a_n=    ．

4. 难度：中等

函数的最小正周期为    ．

5. 难度：中等

（文科）已知平面向量，若，则实数k=    ．

6. 难度：中等

若P（2，-1）为圆（x-1）²+y²=r²（r＞0）内，则r的取值范围是    ．

7. 难度：中等

，则a=    ．

8. 难度：中等

已知a，b∈{-3，-2，-1，1，2，3}且a≠b，则复数z=a+bi对应点在第二象限的概率为    ．（用最简分数表示）

9. 难度：中等

设点A（3，2）以及抛物线y²=2x的焦点F与抛物线上的动点M的距离之和|MA|+|MF|为S，当S取最小值时，则点M的坐标为    ．

10. 难度：中等

若函数f（x）=2^-|x-1|-m的图象与x轴有交点，则实数m的取值范围是    ．

11. 难度：中等

如果一个数列{a_n}对任意正整数n满足a_n+a_n+1=h（其中h为常数），则称数列{a_n}为等和数列，h是公和，S_n是其前n项和．已知等和数列{a_n}中，a₁=1，h=-3，则S₂₀₀₈=    ．

二、选择题

12. 难度：中等

平面内“一个动点到两个定点距离之和为定值”是“动点轨迹为椭圆”的（ ）
A．充分非必要条件
B．充要条件
C．必要非充分条件
D．既非充分又非必要条件

13. 难度：中等

设函数f（x）=2^x+1（x∈R）的反函数为f^-1（x），则函数y=f^-1（x）的图象是（ A ）
A．
B．
C．
D．

14. 难度：中等

已知（其中m，n是实数），则m+ni等于（ ）
A．2+i
B．1-2i
C．1+2i
D．2-i

15. 难度：中等

给出下列命题：
（1）存在实数α使．
（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．
（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．
（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．
其中正确命题的题号为（ ）
A．（1）（2）
B．（2）（3）
C．（3）（4）
D．（1）（4）

三、解答题

16. 难度：中等

实系数一元二次方程2x²-（a+3b）x+b=0的一个虚数根为，求实数a，b的值．

17. 难度：中等

已知向量，设f（x）=．
（1）求f（x）的单调递增区间及最小正周期．
（2）若，求sin2α的值．

18. 难度：中等

某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外，每生产1件这种产品还需要增加投入25元，经测算，市场对该产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为t（单位：百件）时，销售所得的收入约为（万元）．
（1）若该公司这种产品的年产量为x（单位：百件）．试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润y表示为年产量x的函数；
（2）当该公司的年产量x多大时，当年所得利润y最大？

19. 难度：中等

设函数．（a∈R且a≠0）
（1）分别判断当a=1及a=-2时函数的奇偶性．
（2）在a∈R且a≠0的条件下，将（1）的结论加以推广，使命题（1）成为推广后命题的特例，并对推广的结论加以证明．

20. 难度：中等

定义：若数列{A_n}满足A_n+1=A_n²，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+4x+2的图象上，其中n为正整数．
（1）判断数列{a_n+2}是否为“平方递推数列”？说明理由．
（2）证明数列{lg（a_n+2）}为等比数列，并求数列{a_n}的通项．
（3）设T_n=（2+a₁）（2+a₂）…（2+a_n），求T_n关于n的表达式．

21. 难度：中等

设直线l的方程为y=kx-1，等轴双曲线C：x²-y²=a²（a＞0）的中心在原点，右焦点坐标为（ ，0）．
（1）求双曲线方程；
（2）设直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A，B，记AB中点为M，求k的取值范围，并用k表示M点的坐标．
（3）设点Q（-1，0），求直线QM在y轴上截距的取值范围．