2008年江苏省扬州中学高考数学四模试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若集合A={（x，y）|y=x+2，x∈R}，集合B={（x，y）|y=2^x，x∈R}，则A∩B的子集个数是     ．

2. 难度：中等

已知复数z满足（i为参数单位），则复数z的实部与虚部之和为    ．

3. 难度：中等

已知α、β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p是q的     条件．

4. 难度：中等

下列程序框图的运算结果为     ．

5. 难度：中等

一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出    人．

6. 难度：中等

所有棱长均为3的正三棱柱内接于球O，则球O的表面积为     ．

7. 难度：中等

函数y=f（x）定义域为（a，b），y=f′（x）在（a，b）上的图象如图，则y=f（x）在区间（a，b）上极大值点的个数为     ．

8. 难度：中等

在坐标平面内，由不等式组所确定的平面区域的面积为    ．

9. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n次和为s_n，且S₂=10，S₅=55，则过点P（n，a_n）和Q（n+2，a_n+2）（n∈-N^*）的直线方向向量的坐标可以是    ．

10. 难度：中等

已知函数，满足对任意x₁≠x₂，都有成立，则a的取值范围是    ．

11. 难度：中等

在数列{a_n}中，已知a₁=1，，，则a₂₀₀₈等于    ．

12. 难度：中等

已知k∈Z，=（k，1），=（2，4），若||≤4，则△ABC是直角三角形的概率是    ．

13. 难度：中等

ω是正实数，设S_ω={θ|f（x）=cos[ω（x+θ）]是奇函数}，若对每个实数a，S_ω∩（a，a+1）的元素不超过2个，且有a使S_ω∩（a，a+1）含2个元素，则ω的取值范围是    ．

14. 难度：中等

一只球放在桌面上，桌面上一点A的正上方有一点光源O，OA与球相切，让A在桌面上运动，OA始终与球相切，OA形成一个轴截面顶角为45°的圆锥，则点A的轨迹椭圆的离心率为    ．

15. 难度：中等

已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|-|=．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，求sinα的值．

16. 难度：中等

在正△ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足，将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，连接A₁B，A₁P．
（1）求证：A₁E⊥平面BEP；
（2）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小．

17. 难度：中等

运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米（60≤x≤100）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．
（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；
（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x²=2py（p＞0）相交于A、B两点．
（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；
（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=2a_n+（-1）ⁿ，n≥1．
（1）写出求数列{a_n}的前3项a₁，a₂，a₃；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）证明：对任意的整数m＞4，有．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．
（1）求g（x）在x∈[-1，1]上的最大值；
（2）若g（x）≤t²+λt+1对∀x∈[-1，1]及λ∈（-∞，-1]恒成立，求t的取值范围；
（3）讨论关于x的方程的根的个数．

21. 难度：中等

一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，求其中含红球个数的数学期望与标准差分别是多少？

22. 难度：中等

曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是（2，0），求曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形的周长．

23. 难度：中等

（附加题）（Ⅰ）过曲线y=x²（x≥0）上某一点A作一切线l，使之与曲线以及x轴所围成的图形的面积为，试求：
（1）切点A的坐标；
（2）过切点A的切线l的方程；
（3）上述所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

24. 难度：中等

若兔子和狐狸的生态模型为（n≥1），对初始群，讨论第n年种群数量α_n及当n越来越大时，种群数量α_n的变化趋势．