2005年上海市宝山区高考数学一模试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

在复数集上，方程x²+2x+2=0的根是    ．

2. 难度：中等

双曲线的两条渐近线所夹的锐角等于    ．

3. 难度：中等

写出命题“若x∈A∪B，则x∈A或x∈B”的逆否命题    ．

4. 难度：中等

在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：5：7，则△ABC最大角的值是    ．

5. 难度：中等

若，则x的取值范围是    ．

6. 难度：中等

若P是圆x²+y²-4x+2y+1=0上的动点，则P到直线4x-3y+24=0的最小距离是    ．

7. 难度：中等

已知复数z₁=6+2i，z₂=t+i，且是实数，则实数t=    ．

8. 难度：中等

已知，则不等式x+（x-3）f（x+1）≤1的解集是    ．

9. 难度：中等

在三位数中，如果十位数字比个位和百位数字都小，则称这个三位数为凹数，如402，745等，那么各数位无重复数字的三位凹数共有     个．

10. 难度：中等

若（1-2^x）⁹展开式中第3项是288，则=    ．

11. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为     ．

12. 难度：中等

与方程x²+lgx-2005=0的实根最接近的自然数是    ．

二、选择题

13. 难度：中等

设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列四个命题正确的是（ ）
A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n
B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

14. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=an²+bn+c （a、b、c∈R），则“c=0”是“{a_n}是等差数列”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件

15. 难度：中等

函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（ ）
A．f（x）=x+sin
B．
C．f（x）=xcos
D．

16. 难度：中等

设函数f（x）=2sinx （x∈R），区间M=[a，b]（a＜b），集合N{y|y=f（x），x∈M}，则使M=N成立的实数对（a，b）有（ ）
A．无数多个
B．3个
C．2个
D．1个

三、解答题

17. 难度：中等

已知θ∈（0，π），且，求sin2θ-cos2θ的值．

18. 难度：中等

如图为一几何体的展开图：沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图，并求几何体的体积．

19. 难度：中等

甲乙两家旅行社对学生团体旅游提出如下优惠方案．甲提出：每人享受八二折（即原价的82%）优惠，如果人数多于5人，则组织者一人可全部免费，但不得分成多个旅游团．乙提出：不论人数多少，一律七五折．小明组织了本班部分同学准备一同旅游，费用均摊．
（1）如果9人的一个旅游团参加甲旅行社，则人均费用优惠了多少？（精确到0.1%）
（2）如果两家旅行社到某地的各项服务均相同，原价也相同，问选择哪家旅行社价格更优惠．

20. 难度：中等

设直线2x-y+1=0与椭圆相交于A、B两点．
（1）线段AB中点M的坐标及线段AB的长；
（2）已知椭圆具有性质：设A、B是椭圆上的任意两点，M是线段AB的中点，若直线AB、OM的斜率都存在，并记为k_AB，k_OM，则k_AB⋅k_OM为定值．试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明．

21. 难度：中等

已知、分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，（a∈R），对任意正整数n，．
（1）若，求a的值；
（2）求向量；
（3）设向量，求最大整数a的值，使对任意正整数n，都有x_n＜y_n成立．

22. 难度：中等

已知f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）证明：对任意实数b，函数y=f（x）的图象与直线最多只有一个交点；
（3）设，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．