2005年上海市虹口区高考数学一模试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

方程log₅=2x+1的解x=    ．

2. 难度：中等

是方程tg（x+t）=3的解，其中t∈（0，2π），则t=    ．

3. 难度：中等

复数z满足z+|z|=2+8i，则z=    ．

4. 难度：中等

等差数列{a_n}中，如a₁+a₂+a₃=6，a₁₀+a₁₁+a₁₂=9，则a₁+a₂+…+a₁₂=    ．

5. 难度：中等

等比数列{a_n}中，a₁=2，且，则公比q=    ．

6. 难度：中等

若函数f（x）=a|x-b|+2在[0，+∞]上为增函数，则实数a、b的取值范围是    ．

7. 难度：中等

知识竞赛题共有10道，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一道，则甲、乙两人中至少有1人抽到判断题的概率是    ．

8. 难度：中等

二项式（3x-1）ⁿ和（1+4x）ⁿ的展开式中，各项系数之和分别记为a_n和b_n （n∈Z⁺），则=    ．

9. 难度：中等

椭圆，两焦点间距离为6，则t=    ．

10. 难度：中等

曲线（t为参数）的焦点坐标是     ．

11. 难度：中等

当x，y满足不等式组时，目标函数K=x-y的最小值是    ．

12. 难度：中等

定义集合A，B的一种运算“*”，A*B={p|p=x+y，x∈A，y∈B}．若A={1，2，3}，B={1，2}，则集合A*B中所有元素的和    ．

13. 难度：中等

一个七位电话号码a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇，如果前面三位数码a₁a₂a₃的顺序与a₄a₅a₆或a₅a₆a₇相同（可能三者都一样），则称此号码为“可记忆的”．如果a₁，a₂，…，a₇可取数码0，1，2，…，9中的任一个，则不同的“可记忆的”号码共有    个．

二、选择题

14. 难度：中等

已知复数z满足，则z在复平面内所对应的点Z的轨迹是（ ）
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线

15. 难度：中等

函数y=lg（x+3）的图象可由函数y=10^x的图象，先向（ ），再作关于直线y=x对称得到．
A．上平移3个单位
B．下平移3个单位
C．左平移3个单位
D．右平移3个单位

16. 难度：中等

抛物线x²=2py （p＞0）与双曲线x²-y²+4y-3=0图形的交点（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．由p的取值决定，但至少1个

17. 难度：中等

如图，南北向的公路ℓ，A地在公路的正东2km处，B地在A地北偏东30°方向4km处，河流沿岸PQ （曲线）上任一点到公路ℓ及到A地距离均相等，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向A、B两处转运货物，经测算从M到A，M到B修建公路的费用均为a 万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）

A．万元
B．万元
C．3a万元
D．4a万元

三、解答题

18. 难度：中等

在△ABC中，记外接圆半径为R．
（1）求证：；
（2）若（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B），试判断△ABC的形状．

19. 难度：中等

已知：集合A={x|0≤x≤3}，B={x|x²-x-a（a-1）≤0}．若A⊆B，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

已知：函数f（x）=x³+px²+9qx+p+q+3 （x∈R）的图象关于原点对称，其中p，q是实常数．
（1）求p，q的值；
（2）确定函数f（x）在区间[-3，3]上的单调性；
（3）若当-3≤x≤3时，不等式f（x）≥10sint-49恒成立，求实数t的取值范围．

21. 难度：中等

椭圆（a＞b＞0），B为短轴的一个顶点，焦点为F₁，F₂，且△BF₁F₂是等边三角形．
（1）求的值；
（2）如直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=Z，求椭圆的方程．

22. 难度：中等

二次函数y=f（x）图象交y轴于点（0，-6），图象顶点坐标为．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）记，求F（x）的解析式；
（3）如直线y=2x+t与曲线y=F（x）交于三个不同的点，试确定实数t的范围．

23. 难度：中等

数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1 （n≥2），且a₃=95．
（1）求a₁，a₂；
（2）是否存在一个实数t，使得（n∈Z⁺），{b_n}为等差数列．有，则求出t，并予以证明；没有，则说明理由；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．