2009年上海市宝山区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

过点A（2，-3），且法向量是的直线的点方向式方程是    ．

2. 难度：中等

计算矩阵的乘积=    ．

3. 难度：中等

方程在（0，π）上的解集是    ．

4. 难度：中等

设P为圆x²+y²=1上的动点，则点P到直线3x-4y-10=0的距离的最小值为    ．

5. 难度：中等

关于x的方程x²+4x+k=0有一个根为-2+3i（i为虚数单位），则实数k=    ．

6. 难度：中等

如图，已知正△A₁B₁C₁的边长是1，面积是P₁，取△A₁B₁C₁各边的中点A₂，B₂，C₂，△A₂B₂C₂的面积为P₂，再取△A₂B₂C₂各边的中点A₃，B₃，C₃，△A₃B₃C₃的面积为P₃，依此类推．记S_n=P₁+P₂+…+P_n，则=    ．

7. 难度：中等

已知（i为虚数单位），则复数z=    ．

8. 难度：中等

若方程ax²+by²=c的系数a、b、c可以从-1，0，1，2，3，4这6个数中任取3个不同的数而得到，则这样的方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是    ．（结果用数值表示）

9. 难度：中等

在的二项展开式中，含x¹¹的项的系数是    ．

10. 难度：中等

若一个球的体积为，则它的表面积为    ．

11. 难度：中等

如果执行下面的程序框图，那么输出的S=    ．

12. 难度：中等

如图，在平面斜坐标系中xoy中，∠xoy=60°，平面上任一点P的斜坐标定义如下：若，其中分别为与x轴，y轴同方向的单位向量，则点P的斜坐标为（x，y）．那么，以O为圆心，2为半径的圆有斜坐标系xoy中的方程是    ．

二、选择题

13. 难度：中等

复数z=arccosx-π+（2-2^x）i（x∈R，i是虚数单位），在复平面内的对应点只可能位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

14. 难度：中等

已知直线l与抛物线y²=4x相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两个不同的点，那么“直线l经过抛物线y²=4x的焦点”是“x₁x₂=1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分也不必要条件

15. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=5ⁿ+t（t是实数），下列结论正确的是（ ）
A．t为任意实数，{a_n}均是等比数列
B．当且仅当t=-1时，{a_n}是等比数列
C．当且仅当t=0时，{a_n}是等比数列
D．当且仅当t=-5时，{a_n}是等比数列

16. 难度：中等

已知图①中的图象对应的函数y=f（x），则图②中的图象对应的函数是（ ）
A．y=f（|x|）
B．y=|f（x）|
C．y=f（-|x|）
D．y=-f（|x|）

三、解答题

17. 难度：中等

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁底面边长是1，体积是2，M、N分别是棱BB₁、B₁C₁的中点，求异面直线MN与AC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

18. 难度：中等

已知函数．
（1）将函数化成的形式，并写出最小正周期；
（2）用“五点法”作函数的图象，并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间．

19. 难度：中等

已知a为实数，．
（1）求证：对于任意实数a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）当f（x）是奇函数时，若方程f^-1（x）=log₂（x+t）总有实数根，求实数t的取值范围．

20. 难度：中等

函数是这样定义的：对于任意整数m，当实数x满足不等式时，有f（x）=m．
（1）求函数的定义域D，并画出它在x∈D∩[0，4]上的图象；
（2）若数列，记S_n=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a_n），求S_n；
（3）若等比数列{b_n}的首项是b₁=1，公比为q（q＞0），又f（b₁）+f（b₂）+f（b₃）=4，求公比q的取值范围．