2008年湖北省荆州中学高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设复数，则1+w=（ ）
A．w
B．-w
C．w²
D．-w²

2. 难度：中等

如图，平面内的两条相交直线OP₁和OP₂将该平面分割成四个部分I、II、III、Ⅳ（不包含边界）．设=m+n，且点P落在第III部分，则实数m，n满足（ ）

A．m＞0，n＞0
B．m＞0，n＜0
C．m＜0，n＜0
D．m＜0，n＜0

3. 难度：中等

下列各式中，值不为的是（ ）
A．cos²15°-sin²15°
B．sin45°cos15°+cos45°sin15°
C．cos25°cos5°+sin25°sin5°
D．cos25°cos5°-sin25°sin5°

4. 难度：中等

函数的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则b-a的最小值是（ ）
A．3
B．
C．2
D．

5. 难度：中等

设m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，且m，n⊂α．则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

6. 难度：中等

某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题不正确的是（ ）
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学标准差为10

7. 难度：中等

记数列{a_n}所有项的和为S_（1），第二项及以后各项的和为S_（2），第三项及以后各项的和为S_（3），…，第n项及以后各项的和为S_（n），若S_（1）=2，S_（2）=1，S_（3）=，…，S_（n）=…，则a_n=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在坐标平面上，从满足1≤x≤4，1≤y≤4，且x，y是整数的点（x，y）中任意取出三个不同的点，则此三点构成三角形的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知元素为实数的集合A满足条件：若a∈A，则，那么集合A中所有元素的乘积为（ ）
A．-1
B．1
C．0
D．±1

10. 难度：中等

双曲线x²-y²=2的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P_n（x_n，y_n）（n=1，2，3…）在其右支上，且满足|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，P₁F₂⊥F₁F₂，则x₂₀₀₈的值是（ ）
A．
B．
C．4016
D．4015

二、解答题

11. 难度：中等

已知f（x）=|x+3|+|x-7|的最小值为m，则展开式中的常数项是    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-2，+∞），部分对应值如下左表，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是    ．

x	-2		4
f（x）	1	-1	1

13. 难度：中等

在北京奥运会开始前，组委会要从8名志愿者中挑选6人分别去奥运会场馆“鸟巢”和“水立方”进行实地培训，每处3人，其中甲、乙两人不能分在同一组，且乙不能去“水立方”，则不同的安排方法种数为    ．

14. 难度：中等

将边长为2的正△ABC沿高AD折成直二面角B-AD-C，则三棱锥B-ACD的外接球的体积是    ．

15. 难度：中等

给出下列命题：
①若f（x）=2x³+3的反函数为f^-1（x），则f^-1（5）=1；
②过原点作圆x²+y²-12x+9=0的两切线，则两切线所夹的劣弧长为；
③在△ABC中，已知a=5，b=6，A=30°，则B有一解且；
④在样本频率分布直方图中，共有三个长方形，其面积由小到大构成等差数列{a_n}，且a₂+a₃=0.8，则最大的长方形的面积为
其中正确命题的序号为    ．

16. 难度：中等

设，函数f（x）=sin²（x+φ），且．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）若，求f（x）的最大值及相应的x值．

17. 难度：中等

口袋里有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回地摸球，每次取出一个球，规则如下：若一方摸出一个红球，则此人继续下一次摸球；若一方摸出一个白球，则由对方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互独立，并由甲进行第一次摸球．
（1）求在前三次摸球中，甲摸得红球的次数ξ的数学期望；
（2）设第n次由甲摸球的概率为a_n，试建立a_n与a_n-1（n≥2）的递推关系．

18. 难度：中等

如图，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为8的正三角形，，二面角S-AC-B的大小为60°．
（1）求证：AC⊥SB；
（2）求二面角S-BC-A的正切值．

19. 难度：中等

已知A（1，f'（1））是函数y=f（x）的导函数图象上的一点，点B为（x，ln（x+1）），向量，令．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）若x＞0，证明：；
（3）若x∈[-1，1]时，不等式都恒成立，求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

设x₁，x₂∈R，常数a＞0，定义运算“*”：x₁*x₂=（x₁+x₂）²-（x₁-x₂）²．
（1）若x≥0，求动点的轨迹C的方程；
（2）若a=2，不过原点的直线l与x轴、y轴的交点分别为T，S，并且与（1）中的轨迹C交于不同的两点P，Q，试求的取值范围；
（3）设P（x，y）是平面上的任意一点，定义=．若在（1）中的轨迹C存在不同的两点A₁，A₂，使得d₁（A_i）=成立，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数y=f（x）满足，且．
如果存在正项数列{a_n}满足：=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³-n²a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）求证：；
（3）求证：．