2009年上海市普陀区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若复z=i²+i（i是虚数单位），则|z|=    ．

2. 难度：中等

不等|2x-3|＞1的解集为    ．

3. 难度：中等

已知函f（x）=1+log_ax（a＞0且a≠1），f^-1（x）是f（x）的反函数，若y=f^-1（x）的图象过点（3，4），则a=    ．

4. 难度：中等

用金属薄板制作一个直径为0.2米，长为3米的圆柱形通风管．若不计损耗，则需要原材料    平方米（保留3位小数）．

5. 难度：中等

关于x、y的二元线性方程组的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为，则x+y=    ．

6. 难度：中等

设、是平面内一组基向量，且、，则向量可以表示为另一组基向量、的线性组合，即=    +    ．

7. 难度：中等

如图是某算法的程序框图，该算法可表示分段函数，则其输出结果所表示的分段函数为f（x）=    ．

8. 难度：中等

已知非负实数x、y满足不等式组，则目标函数z=x+2y的最大值为    ．

9. 难度：中等

正方体骰子六个表面分别刻有1～6的点数．现同时掷了两枚骰子，则得到的点数之和大于10的概率为    ．

10. 难度：中等

设连接双曲线与的4个顶点的四边形面积为S₁，连接其4个焦点的四边形面积为S₂，则的最大值为    ．

11. 难度：中等

将函数的图象向左平移a（a＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则a的最小值为    ．

12. 难度：中等

已知，{a_n}是首项为a公差为1的等差数列，．如对任意的n∈N^*，都有b_n≥b₈，成立，则a的取值范围是    ．

二、选择题

13. 难度：中等

以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程的一个法向量的是（ ）
A．=（-1，-2）
B．=（2，1）
C．=（1，-2）
D．=（-2，1）

14. 难度：中等

若n∈N^*，（a_n、b_n∈z），a₅+b₅=（ ）
A．32
B．50
C．70
D．120

15. 难度：中等

在△ABC中，“cosA=2sinBsinC”是“△ABC为钝角三角形”的（ ）
A．必要非充分条件
B．充分非必要条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

16. 难度：中等

现有两个命题：
（1）若lgx+lgy=lg（x+y），且不等式y＞-2x+t恒成立，则t的取值范围是集合P；
（2）若函数，x∈（1，+∞）的图象与函数g（x）=-2x+t的图象没有交点，则t的取值范围是集合Q；
则以下集合关系正确的是（ ）
A．P⊊Q
B．Q⊊P
C．P=Q
D．P∩Q=∅

三、解答题

17. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，．对任意n∈N^*，向量，满足⊥，求．

18. 难度：中等

已知复数z₁=cosx+i，z₂=1+sinx•i（i是虚数单位），且．当实数x∈（-2π，2π）时，试用列举法表示满足条件的x的取值集合P．

19. 难度：中等

如图，圆锥体是由直角三角形AOC绕直角边AO所在直线旋转一周所得，OC=2．设点B为圆锥体底面圆周上一点，∠BOC=60°，且△ABC的面积为3．求该圆锥体的体积．

20. 难度：中等

某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆（MN和AB、DC不重合）．
（1）当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN的通风面积；
（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S=f（x）；
（3）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．

21. 难度：中等

已知等轴双曲线C：x²-y²=a²（a＞0）的右焦点为F，O为坐标原点． 过F作一条渐近线的垂线FP且垂足为P，．
（1）求等轴双曲线C的方程；
（2）假设过点F且方向向量为的直线l交双曲线C于A、B两点，求的值；
（3）假设过点F的动直线l与双曲线C交于M、N两点，试问：在x轴上是否存在定点P，使得为常数．若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．