2008年上海市宝山区高考数学一模试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知△ABC的面积S=4，b=2，c=6，则sinA=    ．

2. 难度：中等

已知集合T={x||2x-1|≤3}，x∈R}，则S∪T=    ．

3. 难度：中等

已知A为双曲线的右顶点，F是双曲线的右焦点，则|AF|=    ．

4. 难度：中等

若实数a满足a²-2a-3＜0，则=    ．

5. 难度：中等

若复数z=（a-2）-3i为纯虚数（a∈R），则的值为    ．

6. 难度：中等

函数的最小值是    ．

7. 难度：中等

2007年上海特奥会组委会准备从A、B两所大学中的7名优秀学生（3人来自A大学，4人来自B大学）中选取3人作为志愿者，则3人来自不同大学的概率是    ．

8. 难度：中等

已知，，与的夹角为45°，要使与垂直，则λ=    ．

9. 难度：中等

已知a_n=2ⁿ+3ⁿ，b_n=a_n+1+ka_n，若{b_n}是等比数列，则k=    ．

10. 难度：中等

我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长度相同）称为斜坐标系．平面上任意一点P的斜坐标定义为：若=x+y（其中、分别为斜坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，x、y∈R），则点P的斜坐标为（x，y）．在平面斜坐标系xoy中，若∠xoy=60°，已知点M的斜坐标为（1，2），则点M到原点O的距离为    ．

11. 难度：中等

如图，同一平面内的三条平行直线l₁，l₂，l₃，l₁与l₂的距离为1，l₂与l₃的距离为2，若正三角形的三个顶点A、B、C分别在这三条直线上，则此正三角形的面积为    ．

二、选择题

12. 难度：中等

已知A是△ABC的内角，则“sinA=”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件

13. 难度：中等

下列函数中，在其定义域内，既是单调递增函数，又是奇函数的是（ ）
A．f（x）=sinx+x²
B．f（x）=
C．
D．f（x）=3^x-3^-x

14. 难度：中等

下列命题正确的是（ ）
A．已知，，是非零向量，则•=•
B．已知，是非零向量，则²=
C．已知z是复数，且z²＜0，则z是纯虚数
D．已知z是复数，则z²=|z|²

15. 难度：中等

如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M（1，1），N（1，2），P（2，1），Q（2，2），G（2，0.5）中，“好点”的个数为（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

三、解答题

16. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=4，N、M分别为B₁C₁、BB₁的中点，且异面直线MN与AC所成的角为arccos，求长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=1-2^-x（x∈R）．
（1）求y=f（x）的反函数y=f^-1（x）；
（2）求不等式2log₂（x+1）+f^-1（x）≥0的解集．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的奇函数，且最小正周期为π．
（1）求φ和ω的值；
（2）求g（x）=f（x）+f（x+）取最小值时的x的集合．

19. 难度：中等

某公司的A型商品通过租赁柜台进入某商场销售． 第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A型商品定价为每件70元，年销售量为11.8万件．  第二年，商场开始对该商品征收比率为p%的管理费（即销售100元要征收p元），于是该商品的定价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．
（1）将第二年商场对该商品征收的管理费y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；（2）要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，求征收管理费比率p%的范围．

20. 难度：中等

已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=-1相切．
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点P，且倾斜角为120°的直线与曲线M相交于A，B两点，A，B在直线l上的射影是A₁，B₁．
①求梯形AA₁B₁B的面积；
②若点C是线段A₁B₁上的动点，当△ABC为直角三角形时，求点C的坐标．

21. 难度：中等

已知点列B₁（1，y₁）、B₂（2，y₂）、…、B_n（n，y_n）（n∈N）顺次为一次函数y=x图象上的点，点列A₁（x₁，0）、A₂（x₂，0）、…、A_n（x_n，0）（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x₁=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点A_n、B_n、A_n+1构成以
B_n为顶点的等腰三角形．
（1）求{y_n}的通项公式，且证明{y_n}是等差数列；
（2）试判断x_n+2-x_n是否为同一常数（不必证明），并求出数列{x_n}的通项公式；
（3）在上述等腰三角形A_nB_nA_n+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由．