2009-2010年上海市华东师大二附中高三数学综合练习试卷（10）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知集合A={（x，y）|y=sinx，x∈（0，2π）}，B={（x，y）|y=a，a∈R}，则集合A∩B的子集个数最多有    个．

2. 难度：中等

若函数f（x）=的值域是[-1，1]，则函数f^-1（x）的值域为    ．

3. 难度：中等

（文）若，则目标函数z=x+2y的取值范围是    ．
（理）将曲线 ，上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的倍后，得到的曲线的焦点坐标为    ．

4. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，中若a₁＜0，S_n为前n项之和，且S₇=S₁₇，则S_n为最小时的n的值为    ．

5. 难度：中等

函数f（x）=sin2x-4sin³xcosx的图象上相邻二条对称轴之间的距离是    ．

6. 难度：中等

设和是互相垂直的单位向量，且，则=    ．

7. 难度：中等

若复数z满足|z+1|+|z-1|=2，则|z+i-1|的最小值是    ．

8. 难度：中等

在正三棱锥S-ABC中，D为AB中点，且SD与BC所成角为45°，则SD与底面所成角的正弦值为    ．

9. 难度：中等

一动圆与两圆（x+4）²+y²=25和（x-4）²+y²=4都外切，则动圆圆心M的轨迹方程是    ．

10. 难度：中等

f（x）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，若x∈[，1]时，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，则实数a的取值范围是    ．

11. 难度：中等

在三位数中，如果十位数字比个位和百位数字都小，则称这个三位数为凹数，如402，745等，那么各数位无重复数字的三位凹数共有     个．

12. 难度：中等

对于正整数n和m（m＜n）定义n_m!=（n-m）（n-2m）（n-3m）…（n-km）其中k是满足n＞km的最大整数，则=    ．

二、选择题

13. 难度：中等

在△ABC中，＜是A＞B成立的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件

14. 难度：中等

甲命题：平面α∈平面β，平面β∈平面γ，则平面α∥平面γ；乙命题：平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β．则（ ）
A．甲真乙真
B．甲真乙假
C．甲假乙真
D．甲假乙假

15. 难度：中等

函数y=log_a（|x|+1）（a＞1）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

16. 难度：中等

已知a，b，c∈R，若，且，则下列结论成立的是（ ）
A．a，b，c同号
B．b，c同号，a与它们异号
C．b，c同号，a不能确定
D．a，b，c的符号都不能确定

三、解答题

17. 难度：中等

已知sin²θ（1+ctgθ）+cos²θ（1+tgθ）=2，θ∈（0，2π），求tanθ的值．

18. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为a的正三角形，侧面ABB₁A₁是菱形且垂直于底面，∠A₁AB=60°，M是A₁B₁的中点．
（1）求证：BM⊥AC；
（2）求二面角B-B₁C₁-A₁的正切值；
（3）求三棱锥M-A₁CB的体积．

19. 难度：中等

已知点F（1，0），直线l：x=2，设动点P到直线l的距离为d，已知|PF|=d且．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若=，求向量与的夹角．

20. 难度：中等

某工厂去年某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为（k＞0，k为常数，n∈Z且n≥0），若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f（n）万元．
（1）求k的值，并求出f（n）的表达式；
（2）问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？

21. 难度：中等

已知函数f（x）=3x²+bx+1是偶函数，g（x）=5x+c是奇函数，数列{a_n}满足a_n＞0，且a₁=1，f（a_n+a_n+1）-g（a_n+1a_n+a_n²）=1．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若{a_n}的前

22. 难度：中等

如图，直角梯形ABCD中∠DAB=90°，AD∥BC，AB=2，AD=，BC=．椭圆C以A、B为焦点且经过点D
（1）建立适当坐标系，求椭圆C的方程；
（2）（文）是否存在直线l与椭圆C交于M、N两点，且线段MN的中点为C，若存在，求l与直线AB的夹角，若不存在，说明理由．
（理）若点E满足=，问是否存在不平行AB的直线l与椭圆C交于M、N两点且|ME|=|NE|，若存在，求出直线l与AB夹角的范围，若不存在，说明理由．