2008年上海市普陀区高考数学一模试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₂=7，a₁₁=a₉+6，a₁=    ．

2. 难度：中等

函数y=x+ 的单调递增区间为    ．

3. 难度：中等

已知复数z的模为1，且复数z的实部为，则复数z的虚部为    ．

4. 难度：中等

如图是一个长为5，宽为2的矩形，其中阴影部分的面积约为6.5，现将一颗绿豆随机地落入矩形内，则它恰好落在阴影范围内的概率约     ．

5. 难度：中等

已知集合M={x||x-2|≤1}，N={x|x²-x-6≥0}，则M∩N=    ．

6. 难度：中等

已知sin（π-α）=m，（|m|≤1），则cos[2（π+α）]=    ．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=-2^x+1+1，则f^-1（-7）=    ．

8. 难度：中等

某邮局只有0.6元，0.8元，1.1元的三种面值邮票可售，现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴的邮票张数最少，且游资恰为7.50元，则至少要购买    张邮票．

9. 难度：中等

若点A（1，1）和点B（1，2），在直线3x-y+m=0的异侧，则m的取值范围是    ．

10. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₂=10，S₅=55，则过点P（n，a_n），Q（n+2008，a_n+2008）（n为正整数）的直线的倾斜角为    ．

11. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，已知a₂=sinθ+cosθ，a₃=1+sin2θ，，其中0＜θ＜π，若该数列的第5项a₅=4，则θ=    ．

12. 难度：中等

已知偶函数y=f（x），当x＞0时，f（x）=（x-1）²，若当时，不等式n≤f（x）≤m恒成立，则m-n的最小值是    ．

二、选择题

13. 难度：中等

已知a、b是非零实数，且a＞b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．
B．a²＞b²
C．|a+b|＞|a-b|
D．

14. 难度：中等

△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件

15. 难度：中等

方程化简的结果是（ ）
A．
B．
C．，x≤-3
D．，x≥3

16. 难度：中等

现有问题：“对任意x＞0，不等式x-a+＞0恒成立，求实数a的取值范围．”有两位同学用数形结合的方法分别提出了自己的解题思路和答案：
学生甲：在一个坐标系内作出函数和g（x）=-x+a的大致图象，随着a的变化，要求f（x）的图象再y轴右侧的部分恒在g（x）的上方．可解得a的取值范围是[0，+∞]
学生乙：在坐标平面内作出函数的大致图象，随着a的变化，要求f（x）的图象再y轴右侧的部分恒在直线y=2a的上方．可解得a的取值范围是[0，1]．
则以下对上述两位同学的解题方法和结论的判断都正确的是（ ）
A．甲同学方法正确，结论错误
B．乙同学方法正确，结论错误
C．甲同学方法正确，结论正确
D．乙同学方法错误，结论正确

三、解答题

17. 难度：中等

求与圆C：（x+1）²+y²=4相切，且过点（3，0）的直线的一般方程．

18. 难度：中等

已知复数，（I是虚数单位）．若复数z₁-z₂在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=．
（1）写出函数f（x）的定义域，并证明函数f（x）是奇函数；
（2）判断函数f（x）在定义域内的单调性，并用函数单调性定义给出证明．

20. 难度：中等

在直角坐标系中，已知点列P₁（1，-），P₂（2，），P₃（3，-），…，P_n（n，），…，其中n是正整数．连接P₁ P₂的直线与x轴交于点X₁（x₁，0），连接P₂ P₃的直线与x轴交于点X₂（x₂，0），…，连接P_n P_n+1的直线与x轴交于点X_n（x_n，0），…．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）依次记△X₁P₂X₂的面积为S₁，△X₂P₃X₃的面积为S₃，…，△X_nP_n+1X_n的面积为S_n，…试求无穷数列{S_n}的各项和．

21. 难度：中等

某市环保部门通过研究多年来该地区的大气污染状况后，建立了一个预测该市一天中的大气污染指标f（t）与时间t（单位：小时）之间的关系的函数模型：，其中，代表大气中某类随时间t变化的典型污染物质的含量；参数a代表某个已测定的环境气象指标，且．
（1）求g（t）的值域；
（2）求f（t）的最大值M（a）的表达式；
（3）若该市政府要求每天的大气环境综合指数不得超过2.0，试问：若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数是否会超标？请说明理由．

22. 难度：中等

顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线C过点P（4，4）．过该抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B亮点，点M和N分别为A、B两点在抛物线准线l上的射影．准线l与x轴的交点为E．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）某学习小组在计算机动态数学软件的帮助下，得到了关于抛物线C性质的如下猜想：“直线AN和BM恒相交于原点O”，试证明该结论是正确的；
（3）该小组孩项研究抛物线C中∠AEB的大小范围，试通过计算的结果来给出一个你认为正确的与∠AEB有关的推论，并说明理由．