2008年上海市金山区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知集合P={x|x²-9＜0}，Q={y|y=2x，x∈Z}，则P∩Q=    ．

2. 难度：中等

若复数为实数，则实数a=    ．

3. 难度：中等

函数f（x）=1+log₂x的反函数f^-1（x）=    ．

4. 难度：中等

函数，x∈[4，6]的最小值    ．

5. 难度：中等

若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是    ．

6. 难度：中等

方程sinx+cosx=-1在[0，π]内的解为    ．

7. 难度：中等

若向量、的夹角为150°，||=，||=4，则|2+|=    ．

8. 难度：中等

直线截圆x²+y²=4得劣弧所对的圆心角为    ．

9. 难度：中等

在实数等比数列{a_n}中a₁+a₂+a₃=2，a₄+a₅+a₆=16，则a₇+a₈+a₉=    ．

10. 难度：中等

定义在R上的偶函数f（x），满足f（2+x）=f（2-x），且当x∈[0，2]时，f（x）=，则f（2008）=    ．

11. 难度：中等

正数数列{a_n}中，对于任意n∈N^*，a_n是方程（n²+n）x²+（n²+n-1）x-1=0的根，S_n是正数数列{a_n}的前n项和，则=    ．

二、选择题

12. 难度：中等

在复平面内，复数i（2-i）对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

13. 难度：中等

命题：“对任意的x∈R，x²-2x-3≤0”的否定是（ ）
A．不存在x∈R，x²-2x-3≤0
B．存在x∈R，x²-2x-3≤0
C．存在x∈R，x²-2x-3＞0
D．对任意的x∈R，x²-2x-3＞0

14. 难度：中等

已知A（1，0）．B（7，8），若点A和点B到直线l的距离都为5，且满足上述条件的直线l共有n条，则n的值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

15. 难度：中等

已知直线l：（m+1）x-my+2m-=0与圆C：x²+y²=2相切，且满足上述条件的直线l共有n条，则n的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．以上答案都不对

三、解答题

16. 难度：中等

设函数f（x）=．
（1）化简f（x）的表达式，求f（x）的定义域，并求出f（x）的最大值和最小值；
（2）若锐角α满足cosα=，求f（α）的值．

17. 难度：中等

复数是一元二次方程ax²+bx+1=0（a，b∈R）的根，
（1）求a和b的值；      （2）若（u∈C），求u．

18. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足．
（1）求角B的度数；
（2）若b=，a+c=5，求a和c的值．

19. 难度：中等

设a为实数，函数f（x）=x|x-a|，其中x∈R．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）写出函数f（x）的单调区间．

20. 难度：中等

阅读下面所给材料：已知数列{a_n}，a₁=2，a_n=3a_n-1+2，求数列的通项a_n．
【解析】
令a_n=a_n-1=x，则有x=3x+2，所以x=-1，故原递推式a_n=3a_n-1+2可转化为：
a_n+1=3（a_n-1+1），因此数列{a_n+1}是首项为a₁+1，公比为3的等比数列．
根据上述材料所给出提示，解答下列问题：
已知数列{a_n}，a₁=1，a_n=3a_n-1+4，
（1）求数列的通项a_n；并用解析几何中的有关思想方法来解释其原理；
（2）若记S_n=，求S_n；
（3）若数列{b_n}满足：b₁=10，b_n+1=100b_n³，利用所学过的知识，把问题转化为可以用阅读材料的提示，求出解数列{b_n}的通项公式b_n．

21. 难度：中等

（1）已知平面上两定点A（-2，0）、B（2，0），且动点M的坐标满足=0，求动点M的轨迹方程；
（2）若把（1）的M的轨迹图象向右平移一个单位，再向下平移一个单位，恰与直线x+ky-3=0 相切，试求实数k的值；
（3）如图1，l是经过椭圆长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是两个焦点，点P∈l，P不与A重合．若∠EPF=α，证明：．类比此结论到双曲线，l是经过焦点F且与实轴垂直的直线，A、B是两个顶点，点P∈l，P不与F重合（如图2）．若∠APB=α，试求角α的取值范围．