2008年上海市卢湾区高考数学二模试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

不等式的解集为    ．

2. 难度：中等

计算：=    ．

3. 难度：中等

函数的单调递减区间为    ．

4. 难度：中等

若{a_n}是一个以2为首项，-2为公比的等比数列，则数列{a_n²}的前n项的和S_n=    ．

5. 难度：中等

函数f（x）=2^x+1-1（x＞0）的反函数f^-1（x）=    ．

6. 难度：中等

已知F₁、F₂为椭圆的两个焦点，A为它的短轴的一个端点，若该椭圆的长轴长为4，则△AF₁F₂面积的最大值为    ．

7. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若E为A₁C₁与B₁D₁的交点，F为DD₁的中点，则直线EF与直线BC所成角的大小为    （用反三角函数值表示）．

8. 难度：中等

（理） 在极坐标系中，直线与直线ρsinθ=3交点的极坐标为    ．
（文）若某工程由下列工序组成，则该工程总时数为    天．

工 序	a	b	c	d	e	f
紧前工序	-	-	a、b	c	c	d、e
工时数（天）	2	3	2	5	4	1

9. 难度：中等

若平面向，则满的向量共有    个．

10. 难度：中等

若A、B、C、D、E五人随机地乘坐两辆出租车，每辆车最多能乘坐4人，则A、B、C在同一辆车，D、E在另一辆车上的概率为    （用分数表示）．

11. 难度：中等

定义：若对定义域D上的任意实数x都有f（x）=0，则称函数f（x）为D上的零函数．
根据以上定义，“f（x）是D上的零函数且g（x）是D上的零函数”为“f（x）与g（x）的积函数是D上的零函数”的    条件．

12. 难度：中等

若△ABC的三个内角的正弦值分别等于△A'B'C'的三个内角的余弦值，则△ABC的三个内角从大到小依次可以为    （写出满足题设的一组解）．

二、选择题

13. 难度：中等

已知集合A、B，若A不是B的子集，则下列命题中正确的是 （ ）
A．对任意的a∈A，都有a∉B
B．对任意的b∈B，都有b∈A
C．存在a，满足a∈A，a∉B
D．存在a，满足a∈A，a∈B

14. 难度：中等

若方程x²cosα-y²sinα+2=0所表示的曲线为双曲线，则圆x²+y²+2xcosα-2ysinα=0的圆心在 （ ）
A．第一或第三象限
B．第二或第四象限
C．第一或第二象限
D．第三或第四象限

15. 难度：中等

函数的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

16. 难度：中等

若f（x）为定义在R上的函数，且f（10+x）=f（10-x），f（20-x）=-f（20+x），则f（x）为 （ ）
A．奇函数且周期函数
B．奇函数且非周期函数
C．偶函数且周期函数
D．偶函数且非周期函数

三、解答题

17. 难度：中等

已知z∈C，且（i为虚数单位），求．

18. 难度：中等

图1是某储蓄罐的平面展开图，其中∠GCD=∠EDC=∠F=90°，且AD=CD=DE=CG，FG=FE．若将五边形CDEFG看成底面，AD为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱．
（1）图2为面ABCD的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；
（2）已知该储蓄罐的容积为V=1250cm³，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S（精确到整数位，材料厚度、接缝及投币口的面积忽略不计）．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n可用组合数表示为S_n=C_n+3³-C_n+2³+C_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若f（n）为关于n的多项式，且满足，求f（n）的表达式．

20. 难度：中等

（文）已知锐角三角形ABC的三边为连续整数，且角A、B满足A=2B．
（1）当时，求△ABC的三边长及角B（用反三角函数值表示）；
（2）求△ABC的面积S．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=+，a≠0且a≠1．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间；
（2）已知当x＞0时，函数在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

（文）（1）已知动点P（x，y）到点F（0，1）与到直线y=-1的距离相等，求点P的轨迹L的方程；
（2）若正方形ABCD的三个顶点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）（x₁＜0≤x₂＜x₃）在（1）中的曲线L上，设BC的斜率为k，l=|BC|，求l关于k的函数解析式l=f（k）；
（3）由（2），求当k=2时正方形ABCD的顶点D的坐标．