2008年上海市南汇区高考数学二模试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

不等式的解是    ．

2. 难度：中等

若角600°的终边上有一点（-4，a），则a的值是    ．

3. 难度：中等

=    ．

4. 难度：中等

已知，则=    ．

5. 难度：中等

函数f（x+1）是偶函数，且x＜1时，f（x）=x²+1，则x＞1时，f（x）=    ．

6. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ-1，则a₁²+a₂²+…a_n²=    ．

7. 难度：中等

把10本书随意地放在书架上，则其中指定的3本书放在一起的概率    ．

8. 难度：中等

（理） 极坐标平面内，曲线ρ=2cosθ上的动点P与定点Q 的最近距离为    ．

9. 难度：中等

（文） 已知集合M={a，0}，N={x|2x²-5x＜0，x∈Z}，若M∩N≠∅，则a=    ．

10. 难度：中等

已知=（1，2），=（-2，3），且k+与-k垂直，则k=    ．

11. 难度：中等

将棱长相等的正方体按如图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层、第2层、第3层、…．则第2008层正方体的个数是    ．

12. 难度：中等

（理） 已知（1+x）ⁿ=a+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，若a+a₁+a₂+…+a_n=16，则自然数n=    ．

13. 难度：中等

（文）已知x，y满足不等式组则z=20-2y+x的最大值=    ．

14. 难度：中等

若函数f（x）=a|x-b|+2在[0，+∞]上为增函数，则实数a、b的取值范围是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

在四边形ABCD中，=，且•=0，则四边形ABCD（ ）
A．矩形
B．菱形
C．直角梯形
D．等腰梯形

16. 难度：中等

过定点（1，2）作两直线与圆x²+y²+kx+2y+k²-15=0相切，则k的取值范围是（ ）
A．k＞2
B．-3＜k＜2
C．k＜-3或k＞2
D．

17. 难度：中等

已知函数f（x），并定义数列{a_n}如下：a₁∈（0，1）、a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．如果数列{a_n}满足：对任意n∈N^*，a_n+1＞a_n则函数f（x）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的首项为8，S_n是其前n项的和，某同学经计算得S₂=20，S₃=36，S₄=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为（ ）
A．S₁
B．S₂
C．S₃
D．S₄

三、解答题

19. 难度：中等

设函数y=f（x）的定义域为R，对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时f（x）＜0且f（3）=-4．
（1）求证：y=f（x）为奇函数；
（2）在区间[-9，9]上，求y=f（x）的最值．

20. 难度：中等

已知sin2α=，α∈（，）．
（1）求cosα的值；
（2）求满足sin（α-x）-sin（α+x）+2cosα=-的锐角x．

21. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA=CB=a，∠BCA=90°，AA₁=2a，M，N分别是A₁B₁、AA₁的中点．
（I）求BN的长；
（II）求BA₁，CB₁夹角的余弦值．

22. 难度：中等

一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），车上有一节邮政车厢，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，试求：
（1）列车从第k站出发时，邮政车厢内共有邮袋数是多少个？
（2）第几站的邮袋数最多？最多是多少？

23. 难度：中等

数列{a_n}各项均为正数，S_n为其前n项的和．对于n∈N^*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）设数列的前n项和为T_n，数列{T_n}的前n项和为R_n，求证：当n≥2，n∈N时，R_n-1=n（T_n-1）；
（3）若函数的定义域为R_n，并且，求证p+q＞1．

24. 难度：中等

已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=-1相切，点C在l上．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（Ⅱ）设过点P，且斜率为-的直线与曲线M相交于A，B两点．
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；
（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围．