2007-2008学年湖北省宜昌一中、枝江一中、当阳一中三校联合体高三2月联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z=1+i，则=（ ）
A．
B．
C．i
D．-i

2. 难度：中等

=（ ）
A．
B．0
C．
D．

3. 难度：中等

若，则cos2α的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知向量，=（1，），则的最小值是（ ）
A．1
B．
C．
D．2

5. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，且a₁+a₇+a₁₃=4π，则tan（a₂+a₁₂）的值为（ ）
A．-
B．
C．
D．-

6. 难度：中等

已知p：A={x||x-a|＜4}；q：{x|（x-2）（3-x）＞0}，且非p是非q的充分条件，则a的取值范围为（ ）
A．-1＜a＜6
B．-1≤a≤6
C．a＜-1或a＞6
D．a≤-1或a≥6

7. 难度：中等

关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：
①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；
②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；
③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；
④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；
其中真命题的序号是（ ）
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③

8. 难度：中等

把函数的图象沿x轴平移|ϕ|个单位，所得图象关于原点对称，则|ϕ|的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

过双曲线的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B，C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（1，1），C（0，1），映射f将xOy平面上的点P（x，y）对应到另一个平面直角坐标系uO'v上的点P'（2xy，x²-y²），则当点P沿着折线A-B-C运动时，在映射f的作用下，动点P'的轨迹是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

cos555°=    ．

12. 难度：中等

设中心在原点的双曲线与椭圆+y²=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是    ．

13. 难度：中等

如图，目标函数z=kx+y的可行域为四边形OABC（含边界），A（1，0）、C（0，1），若为目标函数取最大值的最优解，则k的取值范围是    ．

14. 难度：中等

把正方形ABCD沿对角线AC折起，构成以A、B  C、D四点为顶点的三棱锥，当点D到平面ABC的距离最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为    ．

15. 难度：中等

关于函数（a为常数，且a＞0）对于下列命题：
①函数f（x）的最小值为-1；
②函数f（x）在每一点处都连续；
③函数f（x）在R上存在反函数；
④函数f（x）在x=0处可导；
⑤对任意的实数x₁＜0，x₂＜0且x₁＜x₂，恒有
其中正确命题的序号是    ．

16. 难度：中等

已知向量，，已知角的终边上一点P（-t，-t）（t≠0），记．
（1）求函数f（x）的最大值，最小正周期；
（2）作出函数f（x）在区间[0，π]上的图象．

17. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为．

18. 难度：中等

随着机构改革开作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人（140＜2a＜420，且a为偶数），每人每年可创利b万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的首项a₁=1，a₂=3，前n项和为S_n，且S_n+1、S_n、S_n-1（n≥2）分别是直线l上的点A、B、C的横坐标，，设b₁=1，b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n．
（1）判断数列{a_n+1}是否为等比数列，并证明你的结论；
（2）设，证明：．

20. 难度：中等

已知半圆x²+y²=4（y≥0），动圆与此半圆相切且与x轴相切．
（1）求动圆圆心的轨迹，并画出其轨迹图形．
（2）是否存在斜率为的直线l，它与（1）中所得轨迹的曲线由左到右顺次交于A、B、C、D四点，且满足|AD=2|BC|．若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

对于函数f（x），若存在x∈R，使f（x）=x成立，则称x为f（x）的不动点．如果函数有且仅有两个不动点0、2，且．
（1）试求函数f（x）的单调区间；
（2）已知各项不为零的数列{a_n}满足，求证：；
（3）设，T_n为数列{b_n}的前n项和，求证：T₂₀₀₈-1＜ln2008＜T₂₀₀₇．