2008年上海市长宁区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

复数（1-i）³的虚部为    ．

2. 难度：中等

已知向量和，并且，则mn=    ．

3. 难度：中等

设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若a₅=6，S₅=10，，则公差为    ．

4. 难度：中等

已知复数z=1-2i，其中i是虚数单位，则适合不等式的实数a的取值范围    ．

5. 难度：中等

（文）若抛物线y²=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则实数p的值是    ．

6. 难度：中等

关于x的方程在x∈[0，π]的解为    ．

7. 难度：中等

已知直线a，b及平面α，下列命题中：①；②；③；④．正确命题的序号为    （注：把你认为正确的序号都填上）．

8. 难度：中等

已知集合A={n|0＜n＜10，n∈N}，从A中任取3个不同元素分别作为圆方程（x-a）²+（y-b）²=r²中的a，b，r．则使圆心与原点的连线恰好垂直于直线l：x+3y+1=0的概率为    ．

9. 难度：中等

设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P（x，y）到直线x+y=10距离的最大值是    ．

10. 难度：中等

已知函数y=f（x）是偶函数，当x＞0时，；当x∈[-3，-1]时，记f（x）的最大值为m，最小值为n，则m-n=    ．

11. 难度：中等

函数y=log_a（x+3）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为    ．

二、选择题

12. 难度：中等

命题A：|x-1|＜3，命题B：（x+2）（x-5）＜0；则A是B的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件

13. 难度：中等

给出如下三个命题：
①四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc；
②设a，b∈R，则ab≠0若＜1，则＞1；
③若f（x）=log₂x，则f（|x|）是偶函数．
其中不正确命题的序号是（ ）
A．①②③
B．①②
C．②③
D．①③

14. 难度：中等

函数y=sin（ωx+ϕ）+1的一段图象如图所示，则它的一个周期T及ϕ依次为（ ）

A．
B．
C．
D．

15. 难度：中等

设f（x）是定义在R上恒不为0的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a₁=，a_n=f（n）（n为常数），则数列{a_n}的前n项和S_n的取值范围是（ ）
A．[，2）
B．[，2]
C．[，1]
D．[，1）

三、解答题

16. 难度：中等

已知：△ABC的周长为，且
（1）求：边c的长；
（2）若△ABC的面积为，求：角C大小．

17. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中（如图），AD=AA₁=1，AB=3，点E是棱AB上的点，当AE=2EB时，求异面直线AD₁与EC所成角的大小，并求此时点C到平面D₁DE的距离．

18. 难度：中等

近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为10万件，每件小挂件的销售价格平均为100元，生产成本为80元．从今年起工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本，预计产量每年递增1万件．设第n年每件小挂件的生产成本元，若玉制产品的销售价格不变，第n年的年利润为f（n）万元．（今年为第1年）
（1）求f（n）的表达式；
（2）问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？

19. 难度：中等

已知函数f（x）=2^x-1的反函数为f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）．
（1）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值范围P；
（2）设，当x∈P时，求函数h（x）的值域．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，过定点C（2，0）作直线与抛物线y²=4x相交于A，B两点，如图，设动点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
（1）求证：y₁y₂为定值；
（2）若点D是点C关于坐标原点O的对称点，求△ADB面积的最小值；
（3）求证：直线l：x=1被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a₁，b₁]时，值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时，值域为[a₃，b₃]，…当x∈[a_n-1，b_n-1]时，值域为[a_n，b_n]，…其中a，b为常数，a₁=0，b₁=1．
（1）若a=1，求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）若a＞0，a≠1，要使数列{b_n}是公比不为1的等比数列，求b的值；并求此时[a₁，b₁]∪[a₂，b₂]∪…∪[a_n，b_n]；
（3）若a＞0，设数列{a_n}与{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n，求（T₁+T₂+…+T₂₀₀₈）-（S₁+S₂+…+S₂₀₀₈）的值．