2009年江苏省无锡市部分学校高三调研数学试卷（含附加题）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设集合M={x|x-＜0}，N={x|2x+1＞0}，则M∩N=    ．

2. 难度：中等

已知复数z满足z²+1=0，则（z⁶+i）（z⁶-i）=    ．

3. 难度：中等

在总体中抽取了一个样本，为了便于统计，将样本中的每个数据乘以100后进行分析，得出新样本平均数为3，则估计总体的平均数为     ．

4. 难度：中等

幂函数y=f（x）的图象经过点（-2，），则满足f（x）=27的x的值是    ．

5. 难度：中等

下列四个命题：
①∀n∈R，n²≥n；
②∀n∈R，n²＜n；
③∀n∈R，∃m∈R，m²＜n；
④∃n∈R，∀m∈R，m•n=m．
其中真命题的序号是    ．

6. 难度：中等

如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A₇A₈=1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记OA₁，OA₂，…OA_n，…的长度构成数列{a_n}，则此数列的通项公式为a_n=    ．

7. 难度：中等

如图伪代码，根据如图算法，可求得f（-3）+f（2）的值为    ．

8. 难度：中等

在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆六个点．则•+•+•+•+•+•=    ．

9. 难度：中等

若f（x）=Asin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|＜π）对任意实数t，都有f（t+）=f（-t+）．记g（x）=Acos（ωx+φ）-1，则g（）=    ．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=log_a|x|在（0，+∞）上单调递增，则f（-2）    f（a+1）．（填写“＜”，“=”，“＞”之一）

11. 难度：中等

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，交准线于点C．若，则直线AB的斜率为    ．

12. 难度：中等

有一根长为6cm，底面半径为0.5cm的圆柱型铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为     cm．

13. 难度：中等

若不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

（理）已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b=m（m∈N*），则这样的三角形共有    个（用m表示）．

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1+
（1）求角A．
（2）若，，试求||的最小值．

16. 难度：中等

如图，直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°AB=2AD=2CD=2．
（1）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）在A₁B₁上是否存一点P，使得DP与平面BCB₁与平面ACB₁都平行？证明你的结论．

17. 难度：中等

口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1、2、3、4、5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
（1）求两个编号的和为6的概率；
（2）求甲赢的事件发生的概率．

18. 难度：中等

已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．
（1）当m+n＞0时，求椭圆离心率的范围；
（2）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=-2x，g（x）=log_ax（a＞0，且a≠1），其中a为常数．如果h（x）=f（x）+g（x）是增函数，且h^′（x）存在零点（h^′（x）为h（x）的导函数）．
（1）求a的值；
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函数y=g（x）的图象上两点，（g^′（x）为g（x）的导函数），证明：x₁＜x＜x₂．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a=2，a₁=3，a₂=6，且对n≥3时，有a_n=（n+4）a_n-1-4na_n-2+（4n-8）a_n-3．
（Ⅰ）设数列{b_n}满足b_n=a_n-na_n-1，n∈N^*，证明数列{b_n+1-2b_n}为等比数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记n×（n-1）×…×2×1=n!，求数列{na_n}的前n项和S_n．

21. 难度：中等

如图，四边形ABCD内接于⊙O，=，过A点的切线交CB的延长线于E点．求证：AB²=BE•CD．

22. 难度：中等

如图所示，四边形ABCD和四边形AB′C′D分别是矩形和平行四边形，其中点的坐标分别为A（-1，2），B（3，2），C（3，-2），D（-1，-2），B′（3，7），C'（3，3）．求将四边形ABCD变成四边形AB′C′D的变换矩阵M．

23. 难度：中等

过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线（t为参数）相交于A，B两点．求线段AB的长．

24. 难度：中等

已知x，y，z均为正数．求证：．

25. 难度：中等

已知的展开式中前三项的系数成等差数列．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．

26. 难度：中等

动点P在x轴与直线l：y=3之间的区域（含边界）上运动，且到点F（0，1）和直线l的距离之和为4．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）过点Q（0，-1）作曲线C的切线，求所作的切线与曲线C所围成区域的面积．