2010年上海市上海中学高三数学综合练习试卷（5）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

f（x）=，（x≥0），则f^-1（x）=    ．

2. 难度：中等

=    ．

3. 难度：中等

z=1-2i，则（z+1）=    ．

4. 难度：中等

已知：f（x）=x²-4x+8，x∈[1，a]的最大值为f（a），则a∈    ．

5. 难度：中等

tanα=3^x，tanβ=3^-x，若α-β=，则x=    ．

6. 难度：中等

{a，b}⊂{0，1，2，3，5}，由ax+by=0确定直线和（x+2）²+（y-1）²=1相交的概率为    ．

7. 难度：中等

直线l经过抛物线y²=4（x-1）的焦点，且与准线的夹角为30°，则l的方程为    ．

8. 难度：中等

△ABC中，AB=2a，BC=a，则∠A最大值为    ．

9. 难度：中等

（理科）曲线ρ=cosθ+sinθ与ρcosθ=1的交点极坐标为    ．

10. 难度：中等

（文科）工程总时数为    天，关键路    （不必写虚工序）．
   

工序	a	b	c	d	e	f
紧前工序			a、b	b	d、e	d
工期（天）	1	3	2	5	7	4

11. 难度：中等

平面α内∠AOB=90°，P∉α，∠POA=∠POB=60°，M、N是射线OP上两点，MN=4，则线段MN在α内射影长为    ．

12. 难度：中等

已知曲线C：x²+（k-1）y²-3ky+2k=0 （k≠2）．给出下列命题：
（1）k=1，C是抛物线；
（2）1＜k＜2，C是焦点在y轴上椭圆；
（3）k＞2，C是焦点在x轴上椭圆；
（4）k＜1，k≠0，C是双曲线．
其中真命题序号是    ．

13. 难度：中等

命题：三角形中，顶点与对边中点连线所得三线段交于一点，且分线段长度比为2：1，类比可得四面体中，顶点与所对面的    连线所得四线段交于一点，且分线段比为    ．

二、选择题

14. 难度：中等

若{a_n}的前n项和S_n=1+pa_n （p≠0，p≠1），则{a_n}是（ ）
A．等差数列
B．等比数列
C．常数列
D．即非等差，又非等比数列

15. 难度：中等

已知：P（t，m）为y=图象上一个动点，过点P作此曲线的切线，其斜率k是t的函数，则函数k=f（t）在（-1，1）上是（ ）
A．增函数
B．（-1，0]上是增函数，[0，1）上是减函数
C．减函数
D．（-1，0]上是减函数，[0，1）上是增函数

16. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是面AA₁B₁B上点，P到平面A₁B₁C₁D₁距离是P到BC距离的2倍，则P轨迹所在曲线是（ ）
A．直线
B．双曲线
C．抛物线
D．椭圆

17. 难度：中等

满足方程f（x）=x的根x称为函数y=f（x）的不动点，设函数y=f（x），y=g（x）都有不动点，则下列陈述正确的是（ ）
A．y=f（g（x））与y=f（x）具有相同数目的不动点
B．y=f（g（x））一定有不动点
C．y=f（g（x））与y=g（x）具有相同数目的不动点
D．y=f（g（x））可以无不动点

三、解答题

18. 难度：中等

已知：a＞1． 解关于x的不等式（x+a）（a-）＞0．

19. 难度：中等

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是A₁B₁中点．
（1）求过A、E、C₁的截面面积；
（2）B到截面距离．

20. 难度：中等

已知数列{x_n}、{y_n}，x_n+1=，y_n=．
（1）{y_n}是否为等差数列？说明理由；
（2）S_n是{y_n}前n项和，T_n是前n项和，求．

21. 难度：中等

某公司用300万元买回客船一艘，投入营运后，每月需开支燃油费、维修费、员工工资． 已知每月燃油费7000元，第n个月的维修费和工资支出为600（n-1）+3000元，如果把购船费和所有支出费用平摊到的每一个月，叫做每月平均消耗，当平均消耗最低时，营运成本最低．
（1）设月平均消耗y，写出y与n（月）的函数关系；
（2）投入营运几个月时，营运成本最低？
（3）若第一年纯收入50万，以后每年纯收入按5%递减，则多少年后可收回成本？

22. 难度：中等

已知△ABC三个内角满足A、B、C成等差，设x=cos，f（x）=cosB．
（1）求f（x）解析式及定义域；
（2）讨论函数单调性，并证明；
（3）求f（x）值域．

23. 难度：中等

（1）A（-2，0）、B（2，0），M满足=0，求M轨迹．
（2）若（1）中的轨迹按向量（1，-1）平移后恰与x+ky-3=0相切，求k．
（3）如图，l过=1 （a＞b＞0）长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是两焦点，P∈l，P、A不重合，若∠EPF=α，则有0＜α≤arctan，类比此结论到=1 （a＞0，b＞0），l是过焦点F且垂直x轴的直线，A、B是两顶点，P∈l，P、F不重合，∠APB=α，求α取值范围．