2008年上海市长宁区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

复数（1-i）³的虚部为    ．

2. 难度：中等

已知向量和，并且，则mn=    ．

3. 难度：中等

已知复数z=1-2i，其中i是虚数单位，则适合不等式的实数a的取值范围    ．

4. 难度：中等

设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若S₅=10，S₁₀=-5，则公差为    （用数字作答）．

5. 难度：中等

已知直线a，b及平面α，下列命题中：①；②；③；④．正确命题的序号为    （注：把你认为正确的序号都填上）．

6. 难度：中等

关于x的方程2sin²x-sinx+p=0在x∈[0，π]有解，则实数p的取值范围是    ．

7. 难度：中等

已知集合A={n|0＜n＜10，n∈N}，从A中任取3个不同元素分别作为圆方程（x-a）²+（y-b）²=r²中的a，b，r．则使圆心与原点的连线恰好垂直于直线l：x+3y+1=0的概率为    ．

8. 难度：中等

已知P为抛物线y²=4x上一点，设P到准线的距离为d₁，P到点A（1，4）的距离为d₂，则d₁+d₂的最小值为    ．

9. 难度：中等

设常数a＞0，展开式中x³的系数为，则=    ．

10. 难度：中等

函数y=log_a（x+3）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为    ．

11. 难度：中等

三位同学合作学习，对问题“已知不等式xy≤ax²+2y²对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，求a的取值范围”提出了各自的解题思路．
甲说：“可视x为变量，y为常量来分析”．
乙说：“不等式两边同除以x²，再作分析”．
丙说：“把字母a单独放在一边，再作分析”．
参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数a的取值范围是    ．

二、选择题

12. 难度：中等

给出如下三个命题：
①四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc；
②设a，b∈R，则ab≠0若＜1，则＞1；
③若f（x）=log₂x，则f（|x|）是偶函数．
其中不正确命题的序号是（ ）
A．①②③
B．①②
C．②③
D．①③

13. 难度：中等

命题A：|x-1|＜3，命题B：（x+2）（x+a）＜0；若A是B的充分而不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-4）
B．[4，+∞）
C．（4，+∞）
D．（-∞，-4]

14. 难度：中等

函数y=sin（ωx+ϕ）+1的一段图象如图所示，则它的一个周期T及ϕ依次为（ ）

A．
B．
C．
D．

15. 难度：中等

有限数列A=（a₁，a₂，…，a_n），S_n为其前n项和，定义为A的“优化和”；现有2007项的数列（a₁，a₂，…，a₂₀₀₇）的“优化和”为2008，则有2008项的数列（1，a₁，a₂，…，a₂₀₀₇）的“优化和”为（ ）
A．2007
B．2008
C．2009
D．2006

三、解答题

16. 难度：中等

已知：△ABC的周长为，且
（1）求：边c的长；
（2）若△ABC的面积为，求：角C大小．

17. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中（如图），AD=AA₁=1，AB=3，点E是棱AB上的点，当AE=2EB时，求异面直线AD₁与EC所成角的大小，并求此时点C到平面D₁DE的距离．

18. 难度：中等

近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为10万件，每件小挂件的销售价格平均为100元，生产成本为80元．从今年起工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本，预计产量每年递增1万件．设第n年每件小挂件的生产成本元，若玉制产品的销售价格不变，第n年的年利润为f（n）万元．（今年为第1年）
（1）求f（n）的表达式；
（2）问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？

19. 难度：中等

设函数f（x）=2^x-1的反函数为f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）．
（1）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值范围D；
（2）设，当x∈D（D为（1）中所求）时函数H（x）的图象与直线y=a有公共点，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，过定点C（p，0）作直线与抛物线y²=2px（p＞0）相交于A，B两点，如图，设动点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求证：y₁y₂为定值；
（Ⅱ）若点D是点C关于坐标原点O的对称点，求△ADB面积的最小值；
（Ⅲ）是否存在平行于y轴的定直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和s_n满足s₁＞1，且6s_n=（a_n+1）（a_n+2）（n为正整数）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足，求T_n=b₁+b₂+…+b_n；
（3）设，问是否存在正整数N，使得n＞N时恒有C_n＞2008成立？若存在，请求出所有N的范围；若不存在，请说明理由．