2007年湖北省武汉市高三二月调考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z= 的值为（ ）
A．（1+i）
B．-（1+i）
C．（1-i）
D．-（1-i）

2. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₃=，S₃=，则首项a₁=（ ）
A．
B．-
C．6或-
D．6或

3. 难度：中等

已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在（ ）
A．x轴上
B．y轴上
C．直线y=x上
D．直线y=-

4. 难度：中等

已知全集U=R，A={x|≥0}，则C_uA=（ ）
A．{x|-1＜x≤0}
B．{x|-1＜x＜0}
C．{x|-1≤x＜0}
D．{x|-1≤x≤0}

5. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、M分别为AA₁，C₁D₁，BC的中点，那么直线B₁E与FM所成角的余弦值为（ ）

A．0
B．1
C．
D．

6. 难度：中等

若AB过椭圆 +=1 中心的弦，F₁为椭圆的焦点，则△F₁AB面积的最大值为（ ）
A．6
B．12
C．24
D．48

7. 难度：中等

在△ABC中，D为AC边的中点，E为AB上一点，BC、CF交于一点F，且，若，，则实数λ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

将4个相同的小球投入3个不同的盒内，不同的投入方式共有（ ）
A．4³种
B．3⁴种
C．15种
D．30种

9. 难度：中等

如果实数x、y满足，目标函数z=kx+y的最大值为12，最小值3，那么实数k的值为（ ）
A．2
B．-2
C．
D．不存在

10. 难度：中等

函数y=|cos2x|+|cosx|的值域为（ ）
A．[，2]
B．[，2]
C．[，]
D．[，2]

二、解答题

11. 难度：中等

（1+x）⁶（1-x） 展开式中x²项的系数是    ．

12. 难度：中等

=    ．

13. 难度：中等

如果直线l 过定点M（1，2）且与抛物线y=2x²有且仅有一个公共点，那么直线l的方程为    ．

14. 难度：中等

正四棱锥S-ABCD内接于一个半径为R的球，那么这个正四棱锥体积的最大值为    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-3x²+6x-7的图象是中心对称图形，其对称中心为     ．

16. 难度：中等

如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=θ，而△BCD是正三角形，
（1）将四边形ABCD面积S表示为θ的函数；
（2）求S的最大值及此时θ角的值．

17. 难度：中等

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中 AB=BC=2，∠ABC=120°，又顶点A₁在底面ABC上的射影落在AC上，侧棱AA₁与底面成60°的角，D为AC的中点．
（1）求证：AA₁⊥BD；
（2）若面A₁DB⊥面DC₁B，求侧棱AA₁之长．

18. 难度：中等

A袋中装有大小相同的红球1个，白球2个，B袋中装有与A袋中相同大小的红球2个，白球3个．先从A中取出1个球投入B中，然后从B中取出2个球．设ξ表示从B中取出红球的个数．（1）求ξ=2时的概率；（2）求ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图，直线l：y=（x-2）和双曲线C：-=1 （a＞0，b＞0）交于A、B两点，|AB|=，又l关于直线l₁：y=x对称的直线l₂与x轴平行．
（1）求双曲线C的离心率；（2）求双曲线C的方程．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项之和S_n与a_n满足关系式：nS_n+1=（n+2）S_n+a_n+2 （n∈N₊）
（1）若a₁=0，求a₂，a₃的值；（2）求证：a₁=0是数列{a_n}为等差数列的充要条件．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+2x+alnx
（1）若f（x）是区间（0，1）上单调函数，求a的取值范围；
（2）若∀t≥1，f（2t-1）≥2f（t）-3，试求a的取值范围．