2007年上海市徐汇区零陵中学高三3月综合练习数学试卷（四）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

计算：=    ．

2. 难度：中等

已知：tanα=2，则的值是    ．

3. 难度：中等

若常数b满足|b|＞1，则=    ．

4. 难度：中等

若3^x=0.618，且a∈[k，k+1）（k∈Z），则k的值是    ．

5. 难度：中等

函数f（x）=sin2x+|sin2x|的最小正周期为    ．

6. 难度：中等

函数在区间[]的最小值为    ．

7. 难度：中等

展开式中，含x正整数次项幂的项有    项．

8. 难度：中等

不等式log₂|x-1|＜0的解集是    ．

9. 难度：中等

某班有21名男生，15名女生．现从该班学生中任选两名作生活委员，则这两名生活委员性别相同的概率是    （结果用既约分数表示）．

10. 难度：中等

从集合{k|k∈z，1≤k≤11}中任选两个不同元素作为椭圆方程中的m和n，其中落在矩形B={（x，y）||x|＜11，|y|＜9}内的椭圆有    个．

11. 难度：中等

已知双曲线的焦点为F₁，F₂，点M在双曲线上，且，则点M到x轴的距离为    ．

12. 难度：中等

已知四面体ABCD，沿棱AB、AC、AD剪开，铺成平面图形，得到△A₁A₂A₃（如图），试写出四面体ABCD应满足的一个性质：    ．

13. 难度：中等

已知集合A=，这里a，b，c，d为实数，若{0，1，2}⊂A，且{2.5，-2}∩A=∅，则函数可以是    只有写出一个满足条件的函数）．

二、选择题

14. 难度：中等

已知函数f（x）=log₂|ax-1|（a≠0）满足f（-2+x）=f（-2-x），则实数a的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．-1

15. 难度：中等

“a=b”是“直线y=x+2与圆（x-a）²+（y-b）²=2相切”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件

16. 难度：中等

已知两线段a=2，b=，若以a，b为边作三角形，则a边所对的角A的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

17. 难度：中等

设b＞0，二次函数y=ax²+bx+a²-1的图象为下列之一，则a的值为（ ）

A．1
B．-1
C．
D．

三、解答题

18. 难度：中等

已知向量，且A、B、C三点共线，则k=    ．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式为．求
（1）求数列{a_n}中的最大项及其值；  （2）求数列{a_n}中的最小项及其值．

20. 难度：中等

在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=a，AC=b，AA₁=c，∠BAC=90°．
（1）求使AB₁⊥BC₁的充要条件（用a，b，c表示）；
（2）求证∠B₁AC₁为锐角；
（3）若∠ABC=60°，则∠B₁AC₁是否可能为45？证明你的结论．

21. 难度：中等

设a为正数，直角坐标平面内的点集A={（x，y）|x，y，a-x-y是三角形的三边长}．
（1）画出A所表示的平面区域；
（2）在平面直角坐标系中，规定a∈Z，且y∈Z时，（x，y）称为格点，当a=8时，A内有几个格点（本小题只要直接写出结果即可）；
（3）点集A连同它的边界构成的区域记为，若圆，求r的最大值．

22. 难度：中等

某厂2006年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与去年促销费m（万元）（m≥0）满足．已知2006年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
（1）将2006年该产品的利润y万元表示为年促销费m（万元）的函数；
（2）求2006年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？

23. 难度：中等

已知抛物线（a为实常数）．
（1）求所有抛物线p_a的公共点坐标；
（2）当实数a取遍一切实数时，求抛物线p_a的焦点方程．
【理】（3）是否存在一条以y轴为对称轴，且过点（-1，-1）的开口向下的抛物线，使它与某个p_a只有一个公共点？若存在，求出所有这样的a；若不存在，说明理由．
【文】（3）是否存在直线y=kx+b（k，b为实常数），使它与所有的抛物线p_a都有公共点？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，说明理由．

24. 难度：中等

已知函数y=f（x）的定义域为R⁺，对任意x，y∈R⁺，有恒等式f（xy）=f（x）+f（y）；且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）求证：当x∈R⁺时，恒有；
（3）求证：f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（4）由上一小题知：f（x）是（0，+∞）上的减函数，因而f（x）的反函数f^-1（x）存在，试根据已知恒等式猜想f^-1（x）具有的性质，并给出证明．