2010年上海市长宁区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知向量，，若与的夹角大小为90°，则实数k的值为    ．

2. 难度：中等

已知α是第四象限角，，则sinα=    ．

3. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若a=3，c=4，，则b=    ．

4. 难度：中等

已知全集U为实数集，A={x|x²-2x＜0}，B={x|x≥1}，则A∩C_UB=    ．

5. 难度：中等

等比数列前n项和，则常数k的值为     ．

6. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，a₅+a₉-a₇=10，记S_n=a₁+a₂+…+a_n，则S₁₃的值为    ．

7. 难度：中等

已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；
②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．
其中真命题的个数是    ．

8. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若=λ+μ，其中λ、μ∈R，则λ+μ=    ．

9. 难度：中等

已知集合A={z|z=1+i+i²+…+iⁿ，n∈N^*}，B={ω|ω=z₁•z₂，z₁、z₂∈A}，（z₁可以等于z₂），从集合B中任取一元素，则该元素的模为的概率为    ．

10. 难度：中等

已知函数f（x）定义在R上，存在反函数，且f（9）=18，若y=f（x+1）的反函数是y=f^-1（x+1），则f（2008）=    ．

11. 难度：中等

如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC=90°，BA=BC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是    ．

12. 难度：中等

设f₁（x）=|x-1|，f₂（x）=-x²+6x-5，函数，若方程g（x）=a有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a_n=n（n∈N^*），把它的学各项依次排列成右图所示的三角形状
第1行      a₁
第2行    a₂，a₃a₄
第3行  a₅a₆a₇a₈a₉
…
（第一行一项，第二行3项，第三行5项…每行依次比上一行多两项）．若a₂₀₀₉被排在第s行的第t项（从左到右）的位置，则s=    ，t=    ．

二、选择题

14. 难度：中等

复数等于（ ）
A．1+2i
B．1-2i
C．2+i
D．2-i

15. 难度：中等

在二项式的展开式中，含x⁴的项的系数是（ ）
A．-10
B．10
C．-5
D．5

16. 难度：中等

下列函数中既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调递减的函数是（ ）
A．f（x）=sin
B．f（x）=-|x+1|
C．
D．

17. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

三、解答题

18. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，BC=CC₁=a，AC=2a，
（1）求多面体B₁-AA₁C₁C的体积；
（2）求异面直线AB₁与CC₁所成角的大小．

19. 难度：中等

已知向量=（sin2x-1，cosx），=（1，2cosx），设函数．
（1）求函数 f（x）的最小正周期及时的最大值；
（2）把函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得到的图象对应的函数为奇函数，求φ的最小值．

20. 难度：中等

图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4．已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为，设AB=2x，BC=y．

（1）写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；
（2）求当x取何值时，凹槽的强度最大．

21. 难度：中等

设，其中a_ik（1≤i≤n，1≤k≤n）表示该数阵中位于第i行第k列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且a₂₃=8，a₃₄=20．
（1）求a₁₁和a_ik；
（2）设数阵第i行的公差为d_i（i=1，2，…，n），f（n）=d₁+d₂+…+d_n，求f（n）；
（3）设A_n=a_1n+a_2（n-1）+a_3（n-2）+…+a_n1，证明：当n是3的倍数时，A_n+n能被21整除．

22. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域是且f（x）+f（2-x）=0，，当时，f（x）=3^x．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）求f（x）在区间Z）上的解析式；
（3）是否存在正整数k，使得当x∈时，不等式log₃f（x）＞x²-kx-2k有解？证明你的结论．