2009年上海市虹口区北郊高级中学数学押题试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

复数的值是    

2. 难度：中等

不等式log₂|1-x|＜0的解集为    ．

3. 难度：中等

已知集合M={x|0＜|x-2|＜2，x∈Z}，且M∪N={1，2，3，4}，则集合N的非空真子集个数最少为    ．

4. 难度：中等

在的形状是    ．

5. 难度：中等

若α是钝角，且，则的值为    ．

6. 难度：中等

设0＜a＜1，0＜b＜1，则=    ．

7. 难度：中等

若二项式的展开式共7项，则n的值为    ，展开式中的常数项为    ．

8. 难度：中等

直线l：x-2y+2=0过椭圆的左焦点F₁和一个顶点B，则椭圆的方程为     ．

9. 难度：中等

设函数f（x）=，则函数f（x）=的零点是    ．

10. 难度：中等

某市有6名教师志愿到四川地震灾区的甲、乙、丙三个镇去支教，每人只能去一个镇，则恰好其中一镇去4名，另两镇各一名的概率为    ．

11. 难度：中等

若棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的八个顶点都在球O的表面上，则A，A₁两点之间的球面距离为    ．

12. 难度：中等

动点P在平面区域C₁：x²+y²≤2（|x|+|y|）内，动点Q在曲线C₂：（x-4）²+（y-4）²=1上，则平面区域C₁的面积为    ；|PQ|的最小值为    ．

二、选择题

13. 难度：中等

对于实数a，b，c，下列命题正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac²＞bc²
B．若a＜b＜0，则a²＞ab＞b²
C．若a＜b＜0，则
D．若a＜b＜0，则

14. 难度：中等

已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2或m＜-1
B．m＞-2
C．-1＜m＜2
D．m＞2或-2＜m＜-1

15. 难度：中等

函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+…+f（2009）的值为（ ）

A．0
B．2-
C．1
D．

16. 难度：中等

三个实数a，b，c成等比数列，若有a+b+c=1成立，则b的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的奇函数，且最小正周期为π．
（1）求φ和ω的值；
（2）求g（x）=f（x）+f（x+）取最小值时的x的集合．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°．
（Ⅰ）证明AD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角P-BD-A的大小．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2．
（1）证明AD⊥PB；
（2）求二面角P-BD-A的正切值大小．

20. 难度：中等

设f（x）=为奇函数，a为常数，
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）证明：f（x）在（1，+∞）内单调递增；
（Ⅲ）若对于[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞+m恒成立，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

已知两点M和N分别在直线y=mx和y=-mx（m＞0）上运动，且|MN|=2，动点p满足：（O为坐标原点），点P的轨迹记为曲线C．
（I）求曲线C的方程，并讨论曲线C的类型；
（Ⅱ）过点（0，1）作直线l与曲线C交于不同的两点A、B，若对于任意m＞1，都有∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．

22. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．
（1）计算a₁，a₂，a₃，并归纳出数列{a_n}的通项公式；
（2）将数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀）；（a₁₁），（a₁₂，a₁₃），（a₁₄，a₁₅，a₁₆），（a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀）；（a₂₁）…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（3）设A_n为数列的前n项积，若不等式A_n＜f（a）-对一切n∈N^*都成立，求a的取值范围．