2010年上海市长宁区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知向量，，若与的夹角大小为90°，则实数k的值为    ．

2. 难度：中等

已知α是第四象限角，，则sinα=    ．

3. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若a=3，c=4，，则b=    ．

4. 难度：中等

已知全集U为实数集，A={x|x²-2x＜0}，B={x|x≥1}，则A∩C_UB=    ．

5. 难度：中等

记f（x）=log₃（x+1）的反函数为y=f^-1（x），则方程f^-1（x）=8的解x=   

6. 难度：中等

等比数列前n项和，则常数k的值为     ．

7. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，a₅+a₉-a₇=10，记S_n=a₁+a₂+…+a_n，则S₁₃的值为    ．

8. 难度：中等

已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；
②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．
其中真命题的个数是    ．

9. 难度：中等

在二项式（x²-）⁵的展开式中，含x⁴的项的系数是    ．

10. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若=λ+μ，其中λ、μ∈R，则λ+μ=    ．

11. 难度：中等

已知集合A={z|z=1+i+i²+…+iⁿ，n∈N^*}，B={ω|ω=z₁•z₂，z₁、z₂∈A}，（z₁可以等于z₂），从集合B中任取一元素，则该元素的模为的概率为    ．

12. 难度：中等

如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC=90°，BA=BC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是    ．

13. 难度：中等

设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数f_K（x）=取函数f（x）=2^-|x|．当K=时，函数f_K（x）的单调递增区间为    ．

二、选择题

14. 难度：中等

复数等于（ ）
A．1+2i
B．1-2i
C．2+i
D．2-i

15. 难度：中等

无穷等比数列{a_n}中，，则首项a₁的取值范围（ ）
A．a₁∈（0，1）
B．
C．a₁∈（-1，1）
D．a₁∈（-1，0）∪（0，1）

16. 难度：中等

下列函数中既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调递减的函数是（ ）
A．f（x）=sin
B．f（x）=-|x+1|
C．
D．

17. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

三、解答题

18. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，BC=CC₁=a，AC=2a，
（1）求异面直线AB₁与CC₁所成角的大小；
（2）求多面体B₁-AA₁C₁C的体积．

19. 难度：中等

已知向量=（sin2x-1，cosx），=（1，2cosx），设函数．
（1）求函数 f（x）的最大值和最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

20. 难度：中等

图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4．已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为，设AB=2x，BC=y．

（1）写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；
（2）求当x取何值时，凹槽的强度最大．

21. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n-tS_n-1=n（n≥2，n∈N^*，t为常数t≠0），且a₁=1．
（1）当t=2时，求a₂和a₃；
（2）若数列{a_n+1}是等比数列，求常数t的值；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n关于t的表达式．

22. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域是，且f（x）+f（2-x）=0，，当时，f（x）=3^x．
（1）求证：f（x+2）=f（x）且f（x）是奇函数；
（2）求当时函数f（x）的解析式，并求x∈Z）时f（x）的解析式；
（3）当x∈时，解不等式log₃f（x）＞x²-（2k+2）x+2k+1．