2009年湖北省武汉市高三二月调考数学试卷（文理合卷）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若f（x）=x³-x²+x-1，则f（i）=（ ）
A．2i
B．0
C．-2i
D．-2

2. 难度：中等

如果集合P={x|x²-x=0}，集合Q={x|x²+x=0}，那么P∩Q等于（ ）
A．0
B．{0}
C．ϕ
D．{-1，0，1}

3. 难度：中等

若，则sinαcosα=（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知与夹角θ=120°，则向量在向量上的投影为（ ）
A．-2
B．2
C．
D．

5. 难度：中等

函数f（x）=-ln|x-1|的单调递减区间为（ ）
A．（1，+∞）
B．[1，+∞）
C．（0，1）
D．（-∞，1）

6. 难度：中等

若在的展开式中含有常数项，则正整数n取得最小值时常数项为（ ）
A．
B．-135
C．
D．135

7. 难度：中等

（文科做）函数的值域为（ ）
A．[-1，0）
B．[-1，+∞）
C．（0，1]
D．[1，+∞）

8. 难度：中等

点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如右图所示，那么点P所走的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

（理）若实数a、b∈（0，1），且满足，则a、b的大小关系是（ ）
A．a＜b
B．a≤b
C．a＞b
D．a≥b

10. 难度：中等

由一组样本数据（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃）…（x_n，y_n）得到的回归直线方程，那么，下面说法不正确的是（ ）
A．直线必经过点；
B．直线至少经过（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃）…（x_n，y_n）中的一个点；
C．直线的斜率为；
D．直线和各点（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃）…（x_n，y_n）的偏差是坐标平面上的所有直线与这些点的偏差中最小值

11. 难度：中等

设抛物线y²=4x的焦点为F，过点M（-1，0）的直线在第一象限交抛物线于A、B，使，则直线AB的斜率k=（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

（理科做）函数的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

13. 难度：中等

已知一个四面体的一条边长为，其余边长均为2，则此四面体的外接球半径为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

14. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，若a₅-a₁=15，a₄-a₂=6，则a₃=    ．

15. 难度：中等

（文科做）不等式的解集为    ．

16. 难度：中等

若圆C：x²+y²-2ax-2y+a²=0（a为常数）被y轴截得弦所对圆心角为，则实数a=    ．

17. 难度：中等

点p到点A（-m，0）与到点B（m，0）（m＞0）的距离之差为2，若P在直线y=x上，则实数m的取值范围为    ．

18. 难度：中等

把a、a、b、c、d五个字母排成一行，两个字母a不相邻的排列数为    ．

19. 难度：中等

若|y-2x|=x²，其中-1＜x＜0，则实数y的取值范围是    ．

20. 难度：中等

（文科做）区域D中的点P（x，y）满足不等式组，若一个圆C落在区域D中，那么区域D中的最大圆C的半径r为    ．

21. 难度：中等

已知函数．
（1）求函数f（x）的定义域；          
（2）求函数f（x）在[0，2π]上的单调减区间．

22. 难度：中等

（文科做）已知函数
（1）求证：；      
（2）求函数y=f（x）的定义域．

23. 难度：中等

如图，在四面体A-BCD中，，且BD⊥DC，二面角A-BD-C大小为60°．
（1）求证：平面ABC上平面BCD；
（2）求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．

24. 难度：中等

（文科做） 如图，在边长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中M、N、P、Q分别为AD，CD，BB₁，C₁D₁的中点
（1）求点P到平面MNQ的距离；
（2）求直线PN与平面MPQ所成角的正弦值．

25. 难度：中等

在A、B两只口袋中均有2个红球和2个白球，先从A袋中任取2个球转放到B袋中，再从B袋中任取1个球转放到A袋中，结果A袋中恰有ξ个红球．
（1）求ξ=1时的概率；
（2）求随机变量ξ的分布列及期望．

26. 难度：中等

（文科做） 有A、B两只口袋中均放有2个红球和2个白球，先从A袋中任取2个球放到B袋中，再从B袋中任取一个球放到A袋中，经过这样的操作之后．
（1）求A袋中没有红球的概率；      
（2）求A袋中恰有一只红球的概率．

27. 难度：中等

已知椭圆Γ的中心在原点O，焦点在x轴上，直线l：x+y-=0与椭圆Γ交于A、B两点，|AB|=2，且∠AOB=．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若M、N是椭圆Γ上的两点，且满足•=0，求|MN|的最小值．

28. 难度：中等

（文科做）已知数列{a_n}满足递推式：a_n-a_n-1=2n-1，（n≥2，n∈N）且a₁=1．
（1）求a₂，a₃；        
（2）求a_n；       
（3）若b_n=（-1）ⁿa_n，求数列{b_n}的前n项之和T_n．

29. 难度：中等

已知数列a_n满足递推关系式：2a_n+1=1-a_n²（n≥1，n∈N），且0＜a₁＜1．
（1）求a₃的取值范围；
（2）用数学归纳法证明：（n≥3，n∈N）；
（3）若，求证：（n≥3，n∈N）．

30. 难度：中等

已知函数f（x）=-x（0＜x＜）．
（1）求f（x）的导数f′（x）；
（2）求证：不等式sin³x＞x³cosx在（0，]上恒成立；
（3）求g（x）=-（0＜x≤）的最大值．

31. 难度：中等

（文科做）已知曲线f（x）=x³+bx²+cx+d经过原点（0，0），且直线y=0与y=-x均与曲线c：y=f（x）相切．
（1）求f（x）的解析式；         
（2）在b∈R⁺时，求函数y=f（x）的极值．