2007年上海市六校高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知向量，，若，则a=    ．

2. 难度：中等

函数y=1-sinxcosx的最大值是    ．

3. 难度：中等

若直线l₁：ax+2y+6=0与直线l₂：x+（a-1）y+（a²-1）=0平行且不重合，则a的值是   

4. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁+2a₈+a₁₅=96则2a₉-a₁₀=    ．

5. 难度：中等

函数f（x）=2-log₂x的值域为（1，+∞），则f^-1（x）的值域为    ．

6. 难度：中等

若是纯虚数，则θ的值为    ．

7. 难度：中等

已知集合M={x|x²-5x-6≤0，x∈N}，从M中任取两个数相加，得到的和作为集合N的元素，则N的非空真子集有    个．

8. 难度：中等

设（2x-3）¹⁰=a+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₁₀（x-1）¹⁰，则a+a₁+a₂+…+a₁₀=    ．

9. 难度：中等

某中学的一个研究性学习小组共有10名同学，其中男生n名（2≤n≤9），现从中选出2人参加一项调查活动，若至少有一名女生去参加的概率为，则n=    ．

10. 难度：中等

若函数f（x）满足：①f（x）＞0；②任意a，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b）；③若任意a，b∈R，且a＜b，则f（a）＜f（b），试写出该函数具有的两个性质：    ．

11. 难度：中等

已知各项均为正的等比数列{b_n}的首项b₁=1，公比为q，前n项和为S_n，若，则公比q的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x+2）+f（x+2）f（x）+f（x）=1，，，则f（2007）=    ．

二、选择题

13. 难度：中等

已知命题“若x+y＞0，则x＞0且y＞0”．这个命题与它的否命题应当存在（ ）
A．原命题是真命题，否命题是假命题
B．原命题与否命题都是真命题
C．原命题是假命题，否命题是真命题
D．原命题与否命题都是假命题

14. 难度：中等

在极坐标系中，已知圆的方程是，则过圆心与极轴垂直的直线极坐标方程是（ ）
A．ρsinθ=3
B．ρ=3sinθ
C．ρ=3cosθ
D．ρcosθ=3

15. 难度：中等

为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（ ）
A．4，6，1，7
B．7，6，1，4
C．6，4，1，7
D．1，6，4，7

16. 难度：中等

设定义域为R的函数f（x）满足下列条件：①对任意x∈R，f（x）+f（-x）=0；②对任意x₁，x₂∈[1，a]，当x₂＞x₁时，有f（x₂）＞f（x₁）＞0．则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．f（a）＞f（0）
B．
C．
D．

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量，，已知函数f（x）=
（1）求函数f（x）的最值与最小正周期；
（2）求使不等式x∈[0，π]成立的x的取值范围．

18. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为a，M为A₁B₁的中点，N为BB₁的中点．
（1）求异面直线AM与CN所成角的大小；
（2）求四面体N-AMC的体积．

19. 难度：中等

设z=x+yi（x，y∈R），i是虚数单位，满足．
（1）求证：y=0时满足不等式的复数不存在．
（2）求出复数z对应复平面上的轨迹．

20. 难度：中等

双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且时，求Q点的坐标．

21. 难度：中等

设数列{a_n}是首项为0的递增数列，（n∈N），，x∈[a_n，a_n+1]满足：对于任意的b∈[0，1），f_n（x）=b总有两个不同的根．
（1）试写出y=f₁（x），并求出a₂；
（2）求a_n+1-a_n，并求出{a_n}的通项公式；
（3）设S_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）^n-1a_n，求S_n．

22. 难度：中等

已知集合M={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1），x∈R}，．
（1）判断g（x）与M的关系，并说明理由；
（2）M中的元素是否都是周期函数，证明你的结论；
（3）M中的元素是否都是奇函数，证明你的结论．