2011年上海中学高三数学练习试卷1（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设函数的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∩N=    ．

2. 难度：中等

设等差数列{a_n}的公差d不为零，a₁=9d．若a_k是a₁与a_2k的等比中项，则k=    ．

3. 难度：中等

已知两个等差数列a_n、b_n的前n项和分别为A_n和B_n，若，则使为整数的正整数的个数是    ．

4. 难度：中等

设{a_n}为公比q＞1的等比数列，若a₂₀₀₄和a₂₀₀₅是方程4x²-8x+3=0的两根，则a₂₀₀₆+a₂₀₀₇=    ．

5. 难度：中等

设f（x）=log₃（x+6）的反函数为f^-1（x），若〔f^-1（m）+6〕〔f^-1（n）+6〕=27，则f（m+n）=    ．

6. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的K的值是    ．

7. 难度：中等

甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是    ．

8. 难度：中等

如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC=90°，BA=BC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是    ．

9. 难度：中等

设a＞0，b＞0，若是3^a与3^b的等比中项，则的最小值为    ．

10. 难度：中等

设抛物线y²=2x的焦点为F，过点的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=    ．

11. 难度：中等

在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是    ．

12. 难度：中等

当0≤x≤1时，不等式成立，则实数k的取值范围是    ．

13. 难度：中等

（文）对于函数f（x）=lg（x²+ax-a-1），给出下列命题：
①当a=0时，f（x）的值域为R；        ②当a＞0时，f（x）在[2，+∞）上有反函数；
③当0＜a＜1时，f（x）有最小值；     ④若f（x）在[2，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是[-4，+∞）．
上述命题中正确的是    ．（填上所有正确命题的序号）

14. 难度：中等

观察下列等式：观察下列等式：
C+C=2³-2，
C+C+C=2⁷+2³，
C+C+C+C=2¹¹-2⁵，
C+C+C+C+C=2¹⁵+2⁷，
…
由以上等式推测到一个一般结论：
对于n∈N^*，C+C+C+…+C=    ．

二、选择题

15. 难度：中等

已知定义域为R的函数f（x）在（8，+∞）上为减函数，且函数y=f（x+8）函数为偶函数，则（ ）
A．f（6）＞f（7）
B．f（6）＞f（9）
C．f（7）＞f（9）
D．f（7）＞f（10）

16. 难度：中等

设向量，满足：||=3，||=4，•=0．以，，-的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

17. 难度：中等

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB₁C₁C的中心，则AD与平面BB₁C₁C所成角的大小是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

18. 难度：中等

已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x+4），当x＞2时，f（x）单调递增，若x₁+x₂＜4且（x₁-2）（x₂-2）＜0，则f（x₁）+f（x₂）的值（ ）
A．恒大于0
B．恒小于0
C．可能等于0
D．可正可负

三、解答题

19. 难度：中等

在△ABC中，
（Ⅰ）求AB的值．
（Ⅱ）求的值．

20. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（ab）=af（b）+bf（a）．
（1）求f（0）及f（1）的值；
（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若，求证数列{u_n}是等差数列，并求{u_n}的通项公式．

21. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数n，都有a_n=5S_n+1成立，记（n∈N*），
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）记C_n=b_2n-b_2n-1（n∈N*），设数列{C_n}的前n和为T_n，求证：对任意正整数n，都有．

22. 难度：中等

已知双曲线，设直线l过点，
（1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；
（2）证明：当k＞时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为．

23. 难度：中等

已知{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列．
（1）若a_n=3n+1，是否存在m、k∈N^*，有a_m+a_m+1=a_k？说明理由；
（2）找出所有数列{a_n}和{b_n}，使对一切n∈N^*，，并说明理由；
（3）若a₁=5，d=4，b₁=q=3，试确定所有的p，使数列{a_n}中存在某个连续p项的和是数列{b_n}中的一项，请证明．