2008-2009学年上海市十校高三（下）联考数学试卷（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若C_n²=C_n-1²+C_n-1³（n∈N^*），则n=    ．

2. 难度：中等

若复数z满足（i是虚数单位），则z=    ．

3. 难度：中等

已知tan（α+）=，tan（β-）=，则tan（α+β）=    ．

4. 难度：中等

由0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字且数字2，3相邻的四位数共    个（结果用数字表示）．

5. 难度：中等

函数y=（sinx+cosx）²的最小正周期是    ．

6. 难度：中等

科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量强度，则里氏震级量度r可定义为．2008年5月12日，四川汶川发生的地震是8.0级，而1976年唐山地震的震级为7.8级，那么汶川地震所散发的相对能量是唐山地震所散发的相对能量的    倍．（精确到个位）

7. 难度：中等

已知直线3x+2y-5=0的方向向量与直线ax-5y+2=0的法向量垂直，则实数a=    ．

8. 难度：中等

在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=    cm．

9. 难度：中等

（文）已知P（x，y）是抛物线y²=-8x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形平面区域内（含边界）的任意一点，求z=2x-y的最大值．

10. 难度：中等

如图，已知一个多面体的平面展开图由一边长为1的正方体和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是    ．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=的值域是[0，+∞]，则实数m的取值范围是    ．

12. 难度：中等

在解决问题：“证明数集A={x|2＜x≤3}没有最小数”时，可用反证法证明．假设a（2＜a≤3）是A中的最小数，则取，可得：，与假设中“a是A中的最小数”矛盾！那么对于问题：“证明数集没有最大数”，也可以用反证法证明．我们可以假设是B中的最大数，则可以找到x'=    （用m，n表示），由此可知x'∈B，x'＞x，这与假设矛盾！所以数集B没有最大数．

二、选择题

13. 难度：中等

圆x²+y²-8x+6y+16=0与圆x²+y²=64的位置关系是（ ）
A．相交
B．相离
C．内切
D．外切

14. 难度：中等

已知无穷等比数列{a_n}的前n项和为S_n，各项的和为S，且，则其首项a₁的取值范围是（ ）
A．（-1，0）∪（0，1）
B．（-2，-1）∪（-1，0）
C．（0，1）∪（1，2）
D．（-2，0）∪（0，2）

15. 难度：中等

在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f（x）的图象恰好通过n（n∈N⁺）个整点，则称函数f（x）为n阶整点函数．有下列函数：
①f（x）=sin2x；
②g（x）=x³；
③；
④φ（x）=lnx．
其中是一阶整点函数的是（ ）
A．①②③④
B．①③④
C．①④
D．④

16. 难度：中等

已知正方形ABCD的面积为36，BC平行于x轴，顶点A、B和C分别在函数y=3log_ax、y=2log_ax和y=log_ax（其中a＞1）的图象上，则实数a的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2tx+1，x∈[2，5]有反函数，且函数f（x）的最大值为8，求实数t的值．

18. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB．
（I）求cosB的值；
（II）若，且，求a和c的值．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，且对任意n∈N^*，都有2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）试问数列{a_n}中任意连续两项的乘积a_k•a_k+1（k∈N^*）是否仍是{a_n}中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．

20. 难度：中等

定义区间（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的长度均为n-m，其中n＞m．
（1）若关于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集构成的区间的长度为，求实数a的值；
（2）求关于x的不等式，x∈[0，2π]的解集构成的各区间的长度和；
（3）已知关于x的不等式组的解集构成的各区间长度和为6，求实数t的取值范围．

21. 难度：中等

已知等轴双曲线C的两个焦点F₁、F₂在直线y=x上，线段F₁F₂的中点是坐标原点，且双曲线经过点（3，）．
（1）若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线C的方程：①x²-y²=；②xy=9；③xy=．请确定哪个是等轴双曲线C的方程，并求出此双曲线的实轴长；
（2）现要在等轴双曲线C上选一处P建一座码头，向A（3，3）、B（9，6）两地转运货物．经测算，从P到A、从P到B修建公路的费用都是每单位长度a万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？
（3）如图，函数y=x+的图象也是双曲线，请尝试研究此双曲线的性质，你能得到哪些结论？（本小题将按所得到的双曲线性质的数量和质量酌情给分）