2011年广东省深圳中学高三5月考前演练数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集为R，集合A={x|＞0}，B={x|x²≤4}，则B∩A=（ ）
A．{x|-2≤x＜1}
B．{x|-2≤x≤2}
C．{x|1＜x≤2}
D．{x|x＜2}

2. 难度：中等

设i是虚数单位，则复数的实部与虚部之和为（ ）
A．-1
B．-2
C．1
D．2

3. 难度：中等

设，则使得f（x）=xⁿ为奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递减的n的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

4. 难度：中等

已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（ ）
A．3
B．2
C．4
D．

5. 难度：中等

若直线l₁：y=k（x-4）与直线l₂关于点（2，1）对称，则直线l₂恒过定点（ ）
A．（0，4）
B．（0，2）
C．（-2，4）
D．（4，-2）

6. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2，则输出的x值为（ ）
A．25
B．24
C．23
D．22

7. 难度：中等

已知命题，命题，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q
B．p∨（¬q）
C．（¬p）∧q
D．p∧（¬q）

8. 难度：中等

将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到的图象对应的函数为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设P（x，y）是平面区域D：上任意一点，，则|PQ|的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=|n-13|，则满足a_k+a_k+1+…+a_k+19=102的整数k（ ）
A．有3个
B．有2个
C．有1个
D．不存在

二、解答题

11. 难度：中等

样本容量为1000的频率分布直方图如右图所示．根据样本的频率分布直方图计算．样本数据落在[6，14）内的频数为    ．

12. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=    ．

13. 难度：中等

过抛物线y²=2x的焦点作直线交抛物线于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）两点，若x₁+x₂=3，则|PQ|=    ．

14. 难度：中等

已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是     ．

15. 难度：中等

（ 几何证明选讲）如图，两个面积相等的圆⊙O与⊙O′外切，切点为C，过O作⊙O′的两条切线OA，OB，A，B是切点，则∠ACB=    ．

16. 难度：中等

如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

17. 难度：中等

2011年3月，日本发生了9.0级地震，地震引发了海啸及核泄漏．某国际组织用分层抽样的方法从心理专家、核专家、地质专家三类专家中抽取若干人组成研究小组赴日本工作，有关数据见表1（单位：人）．
核专家为了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响，随机选取了110只羊进行了检测，并将有关数据整理为不完整的2×2列联表（表2）．

	相关人员数	抽取人数
心理专家	24	x
核专家	48	y
地质专家	72	6

	高度辐射	轻微辐射	合计
身体健康	30	A	50
身体不健康	B	10	60
合计	C	D	E

附：临界值表

k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828
P（K^2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001

参考公式：；
（1）求研究小组的总人数；
（2）写出表2中A、B、C、D、E的值，并判断有多大的把握认为羊受到高度辐射与身体不健康有关；
（3）若从研究小组的心理专家和核专家中随机选2人撰写研究报告，求其中恰好有1人为心理专家的概率．

18. 难度：中等

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为线段AD₁上的点，且满足．
（1）当λ=1时，求证：DP⊥平面ABC₁D₁；
（2）问当λ变化时，三棱锥D-PBC₁的体积是否为定值；若是，求出其定值；若不是，说明理由．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ（n∈N^*）．
（1）证明：对任意正整数n，；并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对任意正整数n，有3（1-λa_2n）≤a_2n•S_2n，求实数λ的最小值．

20. 难度：中等

已知椭圆与双曲线有两个公共点，且椭圆m与双曲线n的离心率之和为2．
（1）求椭圆m的方程；
（2）过椭圆m上的动点P作互相垂直的两条直线l₁，l₂，l₁与圆O：x²+y²=a²+b²相交于点A，C，l₂与圆x∈[2，6]相交于点B，D，求四边形ABCD的面积的最小值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=（x²-3x+3）e^x的定义域为[-2，t]，其中常数t＞-2，e为自然对数的底数．
（1）若函数f（x）是增函数，求实数t的取值范围；
（2）求证：f（t）＞13e^-2；
（3）设f'（x）表示函数f（x）的导函数，，求函数g（x）在区间（-2，t）内的零点个数．