2007年上海市徐汇区零陵中学高三3月综合练习数学试卷（三）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数y=log₂（x+1）（x＞1）的反函数是    ．

2. 难度：中等

已知2^x=5.618，且x∈[k，k+1]，k∈Z，则k=    ．

3. 难度：中等

设，为非零向量，若|+|=|-|，则与夹角为    ．

4. 难度：中等

函数 的定义域是    ．

5. 难度：中等

=    ．

6. 难度：中等

已知2cos²θ+5cosθ•sinθ-3sin²θ=0，，则tanθ=    ．

7. 难度：中等

已知△ABC两内角A、B的对边边长分别为a、b，且acosA=bcosB，则△ABC的形状是    ．

8. 难度：中等

一人用一小时将一条信息传达给两人，这两人每人又用一小时将信息传给不知此信息的两人，如此下去（每人仅传一次），要传遍55个不同的人至少需要    小时．

9. 难度：中等

已知函数；当x∈[-3，-1]时，记f（x）的最大值为m，最小值为n，则m+n=    ．

10. 难度：中等

已知a、b∈R，定义：（1）设a＜b，则a⊕b=a，a⊗b=b；（2）有括号的先计算括号．那么下式 （2003⊕2004）⊗（2005⊕2006）的运算结果为    ．

11. 难度：中等

已知P是抛物线y=2x²+1上的动点，定点A（0，-1），若点M在直线PA上，同时满足：①点M在点P的下方； ②．则点M的轨迹方程是    ．

12. 难度：中等

函数f（x）=x²-4x+3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，N={（x，y）|x≤2，y≤2}，x、y∈R，则集合M∩N在直角坐标系中对应图形的面积是    ．

二、选择题

13. 难度：中等

函数图象的一条对称轴方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

14. 难度：中等

若双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的半焦距为（ ）
A．
B．
C．5
D．10

15. 难度：中等

（理）f（x）是R上的以2为周期的奇函数，已知x∈（0，1）时，，则f（x）在（1，2）上是（ ）
A．增函数且f（x）＞0
B．减函数且f（x）＞0
C．减函数且f（x）＜0
D．增函数且f（x）＜0

16. 难度：中等

函数的递增区间是（ ）
A．（-∞，1）
B．（2，+∞）
C．
D．

17. 难度：中等

互不相等的三个正数x₁，x₂，x₃成等比数列，且点P₁（log_ax₁，log_by₁）P₂（log_ax₂，log_by₂），P₃（log_ax₃，log_by₃）共线（a＞0且a≠0，b＞且b≠1）则y₁，y₂，y₃成（ ）
A．等差数列，但不等比数列
B．等比数列而非等差数列
C．等比数列，也可能成等差数列
D．既不是等比数列，又不是等差数列

三、解答题

18. 难度：中等

已知直角坐标系中三点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），且，求sin2α的值．

19. 难度：中等

方程x²-2x+2=0的根在复平面上对应的点是A、B，点C对应的复数满足：（1+i）²（1+z）=-6，求△ABC的最大内角的大小．

20. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=1，AD=3，且．
求：（1）三棱锥P-ACD的体积；
（2）直线PC与AB所成角的大小．

21. 难度：中等

某农产品去年各季度的市场价格如下表：

季  度	第一季度	第二季度	第三季度	第四季度
每吨售价（单位：元）	195.5	200.5	204.5	199.5

今年某公司计划按去年各季度市场价格的“平衡价m”（平衡价m是这样的一个量：m与各季度售价差的平方和最小）收购该种农产品，并按每个100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万吨，政府为了鼓励公司多收购这种农产品，决定将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点，
（1）根据题中条件填空，m=______（元/吨）；
（2）写出税收y（万元）与x的函数关系式；
（3）若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．

22. 难度：中等

已知椭圆=1（a＞b＞0），，c为半焦距．过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程．
（2）（理）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
（文）若直线y=x+k（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使OC⊥OD（O为原点）？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

23. 难度：中等

已知f（x）为一次函数，f[f（1）]=-1，f（x）的图象关于直线x-y=0的对称的图象为C，若点在曲线C上，并有a₁=1，．
（1 ） 求f（x）的解析式及曲线C的方程；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设，对于一切n∈N^*，都有S_n＞m成立，求自然数m的最大值．