2011年湖北省武汉市高三四月调考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

=（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₅=15，则a₃=（ ）
A．6
B．4
C．3
D．5

3. 难度：中等

若复数z满足（i是虚数单位），则z=（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知a、b、c是直线，β是平面，给出下列命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a∥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥β，b⊂β，则a∥b；
④若a与b异面，且a∥β，则b与β相交；
⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直．其中真命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

已知为非零向量，（t∈R），若，当且仅当时，取得最小值，则向量的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

已知函数f（x）=’若f（x）在（0，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，）
B．（0，]
C．[）
D．（，1）

8. 难度：中等

若，且P（-4＜ξ＜-2）=0.3，则P（ξ＞0）=（ ）
A．0.2
B．0.3
C．0.7
D．0.8

9. 难度：中等

已知二面角α-l-β的平面角为θ，PA⊥α，PB⊥β，A、B为垂足，PA=5，PB=4，点A、B到棱l的距离分别为x、y，当θ变化时，点（x，y）的轨迹是下列图形中的（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设f（x）=sinπx是[0，1]上的函数，且定义f₁（x）=f（x），…，f_n（x）=f（f_n-1（x）），n∈N^*，则满足f_n（x）=x，x∈[0，1]的x的个数是（ ）
A．2n
B．2（2n-1）
C．2n²
D．2ⁿ

二、解答题

11. 难度：中等

某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为     ．

12. 难度：中等

已知函数’给出下列结论：①函数f（x）在x=1处连续；②f（1）=5； ③；④．其中正确结论的序号是    ．

13. 难度：中等

=    ．

14. 难度：中等

用17列货车将一批货物从A市以vkm/h的速度匀速行驶直达B市．已知A、B两市间铁路线长400km，为了确保安全，每列货车之间的距离不得小于km，则这批货物全部运到B市最快需要    h，此时货车的速度是    km/h．

15. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，给定两定点M（-1，2）和N（1，4），点P在x轴的正半轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是    ．

16. 难度：中等

已知函数（其中x∈R，0＜φ＜π）的图象关于直线对称．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最小值．

17. 难度：中等

有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯．从中挑出4杯称为一次试验，如果能将甲种酒全部挑出来，算作试验成功一次．某人随机地去挑，求：
（Ⅰ）试验一次就成功的概率是多少？
（Ⅱ）恰好在第三次试验成功的概率是多少？
（Ⅲ）当试验成功的期望值是2时，需要进行多少次相互独立试验？

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，△PCD为等边三角形，四边形ABCD为矩形，平面PDC丄平面ABCD，M、N、E分别是AB、PD、PC的中点，AB=2AD．
（Ⅰ）求证DE丄MN；
（Ⅱ）求二面角B-PA-D的余弦值．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（其中c为非零常数，n∈N^*），a₁、a₂、a₃组成公比不为1的等比数列．
（Ⅰ） 求c的值；
（Ⅱ）记数列的前n项和为S_n，求证．

20. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，短轴两个端点为A、B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．
（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

设函数．
（Ⅰ） 讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若x≥0时，恒有f（x）≤ax³，试求实数a的取值范围；
（Ⅲ）令，试证明：．