2008年上海市静安区高考数学一模试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设全集U=Z，A={1，3，5，7，9}，B={1，2，3，4，5，6}，则图中阴影部分表示的集合是    ．

2. 难度：中等

设函数f（x）是奇函数且周期为3，f（-1）=-1，则f（2008）=    ．

3. 难度：中等

已知（），则=    ．

4. 难度：中等

已知向量与都是单位向量，它们的夹角为120°，且，则实数k的值是    ．

5. 难度：中等

（理）点A（1，1）到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最大值是    ．

6. 难度：中等

（文）函数的值域是    ．

7. 难度：中等

若一个三棱锥中有一条棱长为x（其中），其余各条棱长均为1，则它的体积     ．（用x表示）

8. 难度：中等

（文）已知正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积V=    ．

9. 难度：中等

（理）设满足不等式的解集为A，且1∉A，则实数a的取值范围是    ．

10. 难度：中等

（文）不等式的解集是    ．

11. 难度：中等

（理）已知对于任意正整数n，都有a₁+a₂+…+a_n=n³，则=    ．

12. 难度：中等

（文）=    ．

13. 难度：中等

已知直线l：5x+2y+3=0，直线l′经过点P（2，1）且与l的夹角等于45°，则直线l′的一般方程是    ．

14. 难度：中等

设方程x²-2x+m=0的两个根为a、b，且|a-b|=2，则实数m的值是    ．

15. 难度：中等

给出下列四个结论：①函数y=a^x（a＞0且a≠1）与函数y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定义域相同；②函数y=k3^x（k＞0）（k为常数）的图象可由函数y=3^x的图象经过平移得到；③函数（x≠0）是奇函数且函数（x≠0）是偶函数；④函数y=cos|x|是周期函数．其中正确结论的序号是     ．（填写你认为正确的所有结论序号）

二、选择题

16. 难度：中等

已知0＜α＜π，sinα+cosα=，则cos2α的值为（ ）
A．
B．-
C．±
D．-

17. 难度：中等

（理）展开式中的中间项是（ ）
A．C_2nⁿ
B．（-1）^n-1C_2n^n-1x²
C．（-1）ⁿC_2nⁿ
D．（-1）ⁿ⁺¹C_2nⁿ⁺¹x^-2

18. 难度：中等

（文）不等式组表示的平面区域形状是一个（ ）
A．三角形
B．矩形
C．梯形
D．五边形

19. 难度：中等

一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

20. 难度：中等

已知函数上是减函数，则ω的取值范围是（ ）
A．
B．[-3，0）
C．
D．（0，3]

三、解答题

21. 难度：中等

设复数z=2+cosθ+isinθ，θ∈[0，π]，ω=1+i，求|z-ω|的取值范围．

22. 难度：中等

已知平面向量，．
（1）求证：；
（2）设，（其中x≠0），若，试求函数关系式y=f（x），并解不等式f（x）＞7．

23. 难度：中等

（理） 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，点O为该正方形的中心，侧棱PA=PC，PB=PD．
（1）求证：四棱锥P-ABCD是正四棱锥；
（2）设点Q是侧棱PD的中点，且PD的长为2a．求异面直线OQ与AB所成角的大小．（用反三角函数表示）

24. 难度：中等

（文）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别是棱AB、AD的中点．求：
（1）异面直线BC₁与EF所成角的大小；
（2）三棱锥A₁-EFC的体积V．

25. 难度：中等

由市场调查得知：某公司生产的一种产品，如果不作广告宣传且每件获利a元，那么销售量为b件；如果作广告宣传且每件售价不变，那么广告费用n千元比广告费用（n-1）千元时的销售量多件（n∈N*）．
（1）试写出销售量S_n与n的函数关系式；
（2）当a=10，b=4000时公司应作几千元广告，销售量为多少件时，才能使去掉广告费用后的获利最大？

26. 难度：中等

已知a₁，a₂，a₃，…，a₃₀是首项为1，公比为2的等比数列．对于满足0＜k＜30的整数k，数列b₁，b₂，b₃，…，b₃₀由确定．记C=a₁b₁+a₂b₂+…+a₃₀b₃₀．
（Ⅰ）当k=1时，求C的值；
（Ⅱ）求C最小时k的值．

27. 难度：中等

（文）已知等差数列{a_n}的首项a₁=0且公差d≠0，b_n=2（n∈N^*），S_n是数列{b_n}的前n项和．
（1）求S_n；
（2）设T_n=（n∈N^*），当d＞0时，求．

28. 难度：中等

设（a，b为实常数）．
（1）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数；
（2）设f（x）是实数集上的奇函数，求a与b的值；
（3）（理） 当f（x）是实数集上的奇函数时，证明对任何实数x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．
（4）（文）求（2）中函数f（x）的值域．