2010年上海市上海中学高三数学综合练习试卷（7）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

满足{1，2}∪B={1，2，3}的所有集合B的集合为     ．

2. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₂+a₅+a₈=15，则S₉=    ．

3. 难度：中等

已知=    ．

4. 难度：中等

已知tanα，cotα分别是关于x的二次方程x²+px+q=0（p＞0，q＞0）的两实根的等差中项和等比中项，则p，q满足的关系式为    ．

5. 难度：中等

已知m∈R，复数z=m²+4m+3+（m²+2m-3）i，当m=    时，z是纯虚数．

6. 难度：中等

若集合A={}，B={，则A∩B=    ．

7. 难度：中等

设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内只有一个盒子空着，共有    种投放方法．

8. 难度：中等

函数y=x²-3x（x＜1）的反函数是    ．

9. 难度：中等

已知f（x）=，则不等式[f（x）]²＞f（x²）的解集为    ．

10. 难度：中等

下列命题中的真命题为    ．
（1）复平面中满足|z-2|-|z+2|=1的复数z的轨迹是双曲线；
（2）当a在实数集R中变化时，复数z=a²+ai在复平面中的轨迹是一条抛物线；
（3）已知函数y=f（x），x∈R⁺和数列a_n=f（n），n∈N，则“数列a_n=f（n），n∈N递增”是“函数y=f（x），x∈R⁺递增”的必要非充分条件；
（4）在平面直角坐标系xoy中，将方程g（x，y）=0对应曲线按向量（1，2）平移，得到的新曲线的方程为g（x-1，y-2）=0；
（5）设平面直角坐标系xoy中方程F（x，y）=0表椭圆示一个，则总存在实常数p、q，使得方程F（px，qy）=0表示一个圆．

11. 难度：中等

若f（n）为n²+1的各位数字之和（n∈N^*）．如：因为14²+1=197，1+9+7=17，所以f（14）=17．记f₁（n）=f（n），f₂（n）=f（f₁（n）），…，f_k+1（n）=f（f_k（n）），k∈N^*，则f₂₀₀₅（8）=    ．

12. 难度：中等

设直线l过点P（0，3），和椭圆交于A、B两点（A在B上方），试求的取值范围    ．

二、选择题

13. 难度：中等

函数y=log_ax当x＞2 时恒有|y|＞1，则a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．1＜a≤2
D．

14. 难度：中等

展开式中的常数项是（ ）
A．5
B．-5
C．-20
D．20

15. 难度：中等

函数（0＜a＜1）的图象的大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．

16. 难度：中等

已知二次函数y=a（a+1）x²-（2a+1）x+1，当a=1，2，…，n，…时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d₁，d₂，…，d_n，…，则（d₁+d₂+…+d_n）的值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

三、解答题

17. 难度：中等

若α，β是实系数方程x²+x+p=0 的二根，|α-β|=3，则求实数p的值及方程的根．

18. 难度：中等

已知-＜x＜0，则sinx+cosx=．
（I）求sinx-cosx的值；
（Ⅱ）求的值．

19. 难度：中等

如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F、G分别为EB和AB的中点．
（1）求证：FD∥平面ABC；
（2）求二面角B-FC-G的正切值．

20. 难度：中等

如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．
（1）设AD=x（x≥0），ED=y，求用x表示y的函数关系式；
（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}满足条件：a₁=1，a₂=r（r＞0），且{a_na_n+1}是公比为q（q＞0）的等比数列，设b_n=a_2n-1+a_2n（n=1，2，…）．
（1）求出使不等式a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3（n∈N^*）成立的q的取值范围；
（2）求b_n和，其中S_n=b₁+b₂+…+b_n；
（3）设r=2^19.2-1，q=，求数列{}的最大项和最小项的值．

22. 难度：中等

已知复数z₁=m+ni（m，n∈R），z=x+yi（x，y∈R），z₂=2+4i且．
（1）若复数z₁对应的点M（m，n）在曲线上运动，求复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程；
（2）将（1）中的轨迹上每一点按向量方向平移个单位，得到新的轨迹C，求C的轨迹方程；
（3）过轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线，交y轴于点B，求证：以线段AB为直径的圆恒过一定点，并求出此定点的坐标．