2008-2009学年湖北省“鄂南高中、黄冈中学、黄石二中、华师一附中、荆州中学、襄樊四中、襄樊五中、孝感高中”八校高三第二次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

x∈∁_U（M∩N）成立的充要条件是（ ）
A．x∈∁_UM
B．x∈∁_UN
C．x∈∁_UM且x∈∁_UN
D．x∈∁_UM或x∈∁_UN

2. 难度：中等

设复数z₁=1+i，z₂=x-i（x∈R），若z₁•z₂为实数，则x等于（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

3. 难度：中等

已知、是不共线的向量，=λ+，=+μ（λ，μ∈R），那么A、B、C三点共线的充要条件为（ ）
A．λ+μ=1
B．λ-μ=1
C．λμ=-1
D．λμ=1

4. 难度：中等

设映射f：x→-x²+2x是实数集M到实数集P的映射，若对于实数t∈P，t在M中不存在原象，则t的取值范围是（ ）
A．[1，+∞）
B．（1，+∞）
C．（-∞，1）
D．（-∞，1]

5. 难度：中等

等差数列{a_n}中，S_n是其前n项和，a₁=-2008时，，则S₂₀₀₈的值为（ ）
A．-2006
B．2006
C．-2008
D．2008

6. 难度：中等

已知函数（x＜1）（其中e是自然对数的底数）的反函数为f^-1（x），则有（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组，如果按性别依比例分层随机抽样，则组成此课外兴趣小组的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

半径为1的球面上有A、B、C三点，其中点A与B、C两点间的球面距离均为，B、C两点间的球面距离均为，则球心到平面ABC的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，x∈R）对定义域内的任意一个x，都满足条件f（x）=f（x+1）-f（x+2）．若m=sin（ωx+φ+9ω），n=sin（ωx+φ-9ω），则（ ）
A．m＞n
B．m＜n
C．m≥n
D．m=n

10. 难度：中等

已知，若方程f′（x）=0的两个实数根可以分别作为一个椭圆和双曲线的离心率，则（ ）
A．a-b＜-3
B．a-b≤-3
C．a-b＞-3
D．a-b≥-3

二、解答题

11. 难度：中等

已知实数x，y满足，则z=的取值范围是    ．

12. 难度：中等

设a_n是的展开式中x项的系数（n=2、3、4、…），则=    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx+cos（x+t）为偶函数，且t满足不等式t²-3t-40＜0，则t的值为    ．

14. 难度：中等

如图Rt△ABC中，AB=AC=1，以点C为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB边上，且这个椭圆过A、B两点，则这个椭圆的焦距长为    ．

15. 难度：中等

设a、b、c依次是△ABC的角A、B、C所对的边，若，且a²+b²=mc²，则m=    ．

16. 难度：中等

已知向量=（sin（ωx+φ），2），=（1，cos（ωx+φ）），ω＞0，0＜φ＜．函数f（x）=（+）•（-），若y=f（x）的图象的一个对称中心与它相邻的一个对称轴之间的距离为1，且过点M（1，）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）当-1≤x≤1时，求函数f（x）的单调区间．

17. 难度：中等

在某社区举办的《2008奥运知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答这道题对的概率是，甲、丙两人都回答错的概率是，乙、丙两人都回答对的概率是．
（Ⅰ）求乙、丙两人各自回答这道题对的概率；
（Ⅱ）用ξ表示回答该题对的人数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

18. 难度：中等

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁各棱长都为a，P为棱A₁B上的动点．
（Ⅰ）试确定A₁P：PB的值，使得PC⊥AB；
（Ⅱ）若A₁P：PB=2：3，求二面角P-AC-B的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点C₁到面PAC的距离．

19. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若（e^t+2）x²+e^tx+e^t-2≥0对满足|x|≤1的任意实数x恒成立，求实数t的取值范围（这里e是自然对数的底数）；
（Ⅲ）求证：对任意正数a、b、λ、μ，恒有．

20. 难度：中等

如图，已知曲线与抛物线c₂：x²=2py（p＞0）的交点分别为A、B，曲线c₁和抛物线c₂在点A处的切线分别为l₁、l₂，且l₁、l₂的斜率分别为k₁、k₂．
（Ⅰ）当为定值时，求证k₁•k₂为定值（与p无关），并求出这个定值；
（Ⅱ）若直线l₂与y轴的交点为D（0，-2），当a²+b²取得最小值9时，求曲线c₁和c₂的方程．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n项和S_n满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3）．令．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f（x）=2^x-1，求证：（n≥1）；
（Ⅲ）令（a＞0），求同时满足下列两个条件的所有a的值：①对于任意正整数n，都有；②对于任意的，均存在n∈N^*，使得n≥n时，T_n＞m．