2010年上海市上海中学高三数学综合练习试卷（4）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知函数f（x）=a^x+a^-x，且f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值是（ ）
A．14
B．13
C．12
D．11

2. 难度：中等

设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（ ）
A．充分必要条件
B．充分而非必要条件
C．必要而非充分条件
D．既非充分也非必要条件

3. 难度：中等

如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流
的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km．现要在曲线PQ上一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）

A．（2-2）a万元
B．5a万元
C．（2+1）a万元
D．（2+3）a万元

4. 难度：中等

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，则x=S²_n+S²_2n，y=S_n（S_2n+S_3n）的大小关系是（ ）
A．x≥y
B．x=y
C．x≤y
D．不确定

二、解答题

5. 难度：中等

已知y=|log₂x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度b-a的最小值为    ．

6. 难度：中等

已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]，f（x）=x，那么在区间[-1，3]内，关于x的方程y=kx+k+1（其中k为不等于1的实数）有四个不同的实根，则k的取值范围是     ．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=Acos²（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，f（x）的图象在y轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=    ．

8. 难度：中等

如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头方向可以构成一个“锯齿形”的数列{a_n}：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n项和为S_n，则S₁₉的值为     ．

9. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a+c=2b且，当△ABC的面积为时，b=    ．

10. 难度：中等

若对终边不在坐标轴上的任意角x，不等式sinx+cosx≤m≤tan²x+cot²x恒成立，则实数m的取值范围是    ．

11. 难度：中等

对正整数n，设抛物线y²=2（2n+1）x，过P（2n，0）任作直线l交抛物线于A_n，B_n两点，则数列的前n项和公式是    ．

12. 难度：中等

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长都相等，M是BB₁的中点，则BC₁与平面AC₁M所成角的大小是    ．

13. 难度：中等

设抛物线y=ax²（a＞0）与直线y=kx+b有两个公共点，其横坐标是x₁，x₂，而x₃是直线与x轴交点的横坐标，则x₁，x₂，x₃的关系是    ．

14. 难度：中等

满足|z-z|+|z+2i|=4的复数z在复平面上对应的点Z的轨迹是线段，则复数z在复平面上对应的点的轨迹是    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（-1，2），C（1，0），点P（x，y）在△ABC内部运动，若点P满足，则S△_PAC：S△_ABC=    ．

16. 难度：中等

有一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：
①在9×9的九宫格子中，分成9个3×3的小九宫格，用1到9这9个数字填满整个格子；
②每一行与每一列都有1到9的数字，每个小九宫格里也有1到9的数字，并且一个数字在每行、每列及每个每个小九宫格里只能出现一次，既不能重复也不能少．
那么A处应填入的数字为    ；B处应填入的数字为    ．

		4
	9	A	3	5				7
2			6			3	5
	4	2	8		6	9
	1						7
		6	9		3	5	4
	2	8			9		B	5
1				2	8	7	6
						4

17. 难度：中等

已知函数f（x）=a+bsin2x+ccos2x的图象经过点A（0，1），B（，1），且当x∈[0，]时，f（x）取得最大值2-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在向量m，使得将f（x）的图象按向量m平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出满足条件的一个m；若不存在，说明理由．

18. 难度：中等

在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．
（1）求证：PA⊥平面ABCDE；
（2）求二面角A-PD-E的大小；
（3）求点C到平面PDE的距离．

19. 难度：中等

（1）如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若，，试用，表示，，并判断与的关系；
（2）受（1）的启示，如果点A₁，A₂，A₃，…，A_n-1是AB的n（n≥3）等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．

20. 难度：中等

设数列{a_n}，{b_n}满足a₁=b₁=6，a₂=b₂=4，a₃=b₃=3，且数列{a_n+1-a_n}（n∈N⁺）是等差数列，数列{b_n-2}（n∈N₊）是等比数列．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）是否存在k∈N⁺，使，若存在，求出k，若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，．过点M作MM₁⊥y轴于M₁，过N作NN₁⊥x轴于点N₁，．记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得|BP|=|BQ|，并说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+2bx+4c（a，b，c∈R，a≠0）．
（1）若函数f（x）的图象与直线y=±x均无公共点，求证：4b²-16ac＜-1；
（2）若时，对于给定的负数a，有一个最大的正数M（a），使x∈[0，M（a）]时，都有？f（x）？≤5，求a为何值时M（a）最大？并求M（a）的最大值；
（3）若a＞0，且a+b=1，又|x|≤2时，恒有|f（x）|≤2，求f（x）的解析式．