2009年浙江省宁波市海曙区效实中学高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z=（2-i）•（1+i），则该复数z的模等于（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知条件P：（x-1）²+（y-1）²=0，条件Q：（x-1）•（y-1）=0，那么P是Q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列命题中，真命题的是（ ）
A．若l∥α，且l∥β，则α∥β
B．若l⊥α．且l⊥β，则α∥β
C．若l⊂α，且α⊥β，则l⊥β
D．若l∥α，且α∥β，则l∥β

4. 难度：中等

已知（x-1）（x+1）⁹=a+a₁x+a₂x²+…+a₉x⁹+a₁₀x¹⁰，则a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀=（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

5. 难度：中等

已知函数f（x）满足：，则f（2009）等于（ ）
A．2
B．-3
C．
D．

6. 难度：中等

已知在上有两个不同零点，则m的取值范围为（ ）
A．（1，2）
B．[1，2]
C．[1，2）
D．（1，2]

7. 难度：中等

已知a＞0且a≠1，则等式log_a（M+N）=log_aM+log_aN（ ）
A．对任意正数M，N都不成立
B．对任意正数M，N都成立
C．仅对M=N=2成立
D．存在无穷多组正数M，N成立

8. 难度：中等

某程序框图如右图所示，现将输出（x，y）值依次记为：（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），…；若程序运行中输出的一个数组是（x，-10），则数组中x=（ ）

A．64
B．32
C．16
D．8

9. 难度：中等

函数y=f（x）在R上的图象是连续不断的一条曲线，并且在．R上单调递增，已知P（-1，-1），Q（3，1）是其图象上的两点，那
么|f（x+1）|＜1的解集为（ ）
A．（0，4）
B．（-2，2）
C．（-∞，0）∪（4，+∞）
D．（-∞，-2）∪（2，+∞）

10. 难度：中等

已知a≥0，b≥0，且有，则以a，b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积等于（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8

二、解答题

11. 难度：中等

双曲线的渐近线方程为，则双曲线离心率e=    ．

12. 难度：中等

已知M={1，2，4}，A={y|y=x²，x∈M}，B={y|y=log₂x²，x∈M}，则Card（A∪B）=    ．

13. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃=S₆，则S₉=    ．

14. 难度：中等

若不等式对任意实数x都成立，则a的取值范围为    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，，，BE与CD交于点P，设，其中已求得，则y=    ．

16. 难度：中等

将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有    种．

17. 难度：中等

如图，平面α⊥平面β，α∩β=l，DA⊂α，BC⊂α，且DA⊥l于A，BC⊥l于B，AD=4，BC=8，AB=6，点P是平面β内不在l上的一动点，记PD与平面β所成角为θ₁，PC与平面β所成角为θ₂．若θ₁=θ₂，则△PAB的面积的最大值是    ．

18. 难度：中等

已知，其中ω＞0．设函数，且函数f（x）的周期为π．
（I）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a，b，c成等差：当f（B）=1'时，判断△ABC的形状．

19. 难度：中等

如图，矩形ABCD与正三角形APD中，AD=2，DC=1，E为AD的中点，现将正三角形APD沿AD折起，得到四棱锥P-ABCD，该四棱锥的三视图如下：

（I）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）求异面直线BE，PD所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的正弦值．

20. 难度：中等

甲乙两人约定以“五局三胜”制进行乒乓球比赛，比赛没有平局，设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，已知比赛中，乙嬴了第一局比赛．
（I）求甲获胜的概率；（用分数作答）
（Ⅱ）设比赛总的局数为ξ，求ξ的分布列及期望Eξ．（用分数作答）

21. 难度：中等

已知直线l：y=kx+m交抛物线C：x²=4y于相异两点A，B．过A，B两点分别作抛物线的切线，设两切线交于M点．
（I）若M（2，-1），求直线l的方程；  （Ⅱ）若|AB|=4，求△ABM面积的最大值．

22. 难度：中等

已知函数（e是自然对数的底数），g（x）=ax（a是实数）．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若在[2，+∞）上至少存在一点x，使得f（x）＜g（x）成立，求a的取值范围．