2009-2010学年江苏省南通市海安高级中学高三（下）5月自检数学试卷（2）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

集合A={x|0＜x≤3，x∈R}，B={x|-1≤x≤2，x∈R}，则A∪B=    ．

2. 难度：中等

正方体中，连接相邻两个面的中心的连线可以构成一个美丽的几何体．若正方体的边长为1，则这个美丽的几何体的体积为    ．

3. 难度：中等

设向量，若向量与向量共线，则λ=    ．

4. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，a₃•a₉=2a₅²，则公比q=    ．

5. 难度：中等

某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：

产品类别	A	B	C
产品数量（件）		1300
样本容量		130

由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，请你根据以上信息补全表格中C列两个数据从上到下依次为    ，    ．

6. 难度：中等

若f（x）=-+bln（x+2）在（0，+∞）上是减函数，则b的取值范围是    ．

7. 难度：中等

△ABC中，，则的最小值是    ．

8. 难度：中等

已知椭圆的左焦点是F₁，右焦点是F₂，点P在椭圆上，如果线段PF₁的中点在y轴上，那么|PF₁|：|PF₂|=    ．

9. 难度：中等

设A：x（x-1）＜0，B：0＜x＜m若B是A成立的必要不充分条件，则m取值范围为    ．

10. 难度：中等

过点A（4，-1）与圆（x+1）²+（y-3）²=5切于点B（1，2）的圆的方程为    ．

11. 难度：中等

已知非负实数x、y同时满足2x+y-4≤0，x+y-1≥0，则z=x²+（y+2）²的最小值是    ．

12. 难度：中等

若集合A={a|a≤100，a=3k，k∈N^*}，集合B={b|b≤100，b=2k，k∈N^*}，在A∪B中随机地选取一个元素，则所选取的元素恰好在A∩B中的概率为    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx+tanx．项数为2009的等差数列{a_n}满足，且公差d≠0．若f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₀₈）+f（a₂₀₀₉）=0，则当k=    时f（a_k）=0．

14. 难度：中等

当n为正整数时，函数N（n）表示n的最大奇因数，如N（3）=3，N（10）=5，…，设S_n=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（2ⁿ-1）+N（2ⁿ），则S_n=    ．

15. 难度：中等

如图，ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC=CF=2a，P为AB的中点．
（1）求证：平面PCF⊥平面PDE；
（2）求四面体PCEF的体积．

16. 难度：中等

已知△ABC的三个角为A、B、C，三边为a、b、c，，，，且A≠C，
（1）求角B；
（2）求sinA+sinC的取值范围．

17. 难度：中等

已知圆O：x²+y²=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其左焦点为F．若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P的坐标为（1，1），求证：直线PQ与圆O相切；
（3）试探究：当点P在圆O上运动时（不与A、B重合），直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=）
（1）求证：数列是等差数列；
（2）记S_n（x）=（x）．

19. 难度：中等

在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2009根．现将它们堆放在一起．
（1）若堆放成纵断面为正三角形（每一层的根数比上一层根数多1根），并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢？
（2）若堆成纵断面为等腰梯形（每一层的根数比上一层根数多1根），且不少于七层，
（Ⅰ）共有几种不同的方案？
（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？

20. 难度：中等

函数f（x）=x³-3tx+m（x∈R，m和t为常数）是奇函数．
（1）求实数m的值和函数f（x）的图象与横轴的交点坐标；
（2）设g（x）=|f（x）|（x∈[-1，1]），求g（x）的最大值F（t）；
（3）求F（t）的最小值．

21. 难度：中等

已知二阶矩阵M满足，求．

22. 难度：中等

已知曲线C₁：（t为参数），C₂：（θ为参数）．
（1）化C₁，C₂的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C₁上的点P对应的参数为t=，Q为C₂上的动点，求PQ中点M到直线C₁：（t为参数）距离的最小值．

23. 难度：中等

如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB⊥AC，AB=AC=2，E为AC的中点．
（1）求异面直线BE与PC所成角的余弦值；
（2）求二面角P-BE-C的平面角的余弦值．

24. 难度：中等

电视台举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题：问题A有四个选项，问题B有六个选项，但都只有一个选项是正确的．正确回答问题A可获奖金m元，正确回答问题B可获奖金n元．活动规定：①参与者可任意选择回答问题的顺序；②如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动中止．一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，因而准备靠随机猜测回答问题．试确定回答问题的顺序使获奖金额的期望值较大．