2007-2008学年广东省深圳外国语学校高三第三次质量检测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是（ ）
A．15
B．16
C．3
D．4

2. 难度：中等

已知向量=（4，2），向量=（x，3），且∥，则x=（ ）
A．9
B．6
C．5
D．3

3. 难度：中等

函数的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若（x+1）⁵=a+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₅（x-1）⁵，则a=（ ）
A．32
B．1
C．-1
D．-32

5. 难度：中等

若函数y=lnx-ax的增区间为（0，1），则a的值是（ ）
A．0＜a＜1
B．-1＜a＜0
C．a=-1
D．a=1

6. 难度：中等

在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”成立的（ ）
A．充要条件
B．2充分部必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

设等比数列{a_n}的公比为q，前n项和为S_n，若S_n+1，S_n，S_n+2成等差数列，则公比q为（ ）
A．q=-2
B．q=1
C．q=-2或q=1
D．q=2或q=-1

8. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象如图，则（ ）

A．b∈（-∞，0）
B．b∈（0，1）
C．b∈（1，2）
D．b∈（2，+∞）

二、解答题

9. 难度：中等

化简=    ．

10. 难度：中等

曲线y=sinx在点（）处的切线方程为     ．

11. 难度：中等

从10名女生和5名男生中选出6名组成课外学习小组，如果按性别比例分层抽样，则组成此课外学习小组的概率是    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，若A=120°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积S=    ．

13. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题） 以极坐标系中的点（1，）为圆心，1为半径的圆的方程是    ．

14. 难度：中等

（不等式选讲选做题）
不等式|x-4|+|3-x|＜2的解集是    ．

15. 难度：中等

AB是圆O的直径，EF切圆O于C，AD⊥EF于D，AD=2，AB=6，则AC长为    ．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，已知，且最长边的边长为l，
求：
（1）角C的大小；
（2）△ABC最短边的长．

17. 难度：中等

在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一只巨大汽油罐．已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功．每次射击命中的概率都是，每次命中与否互相独立．
（Ⅰ）求恰好射击5次引爆油罐的概率；
（Ⅱ）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．

18. 难度：中等

设S_n是数列{a_n}的前n项和，所有项a_n＞0，且，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）已知b_n=2ⁿ，求T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的值．

19. 难度：中等

据调查，湖南某地区有100万从事传统农业的农民，人均年收入3000元．为了增加农民的收入，当地政府积极引资建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作．据估计，如果有x（x＞0）万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民人均年收入为3000a元（a＞0为常数）．
（I）在建立加工企业后，要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入，求x的取值范围；
（Ⅱ）在（I）的条件下，当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作，才能使这100万农民的人均年收入达到最大？

20. 难度：中等

设x₁，x₂是函数的两个极值点，且|x₁-x₂|=2．
（Ⅰ）证明：0＜a≤1；
（Ⅱ）证明：．

21. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，直线l₁：x=2，l₂：y=-t²+8t（其中0≤t≤2．t为常数）；若直线l₁、l₂与函数f（x）的图象以及l₁，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示．
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；
（Ⅲ）若g（x）=6lnx+m，问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．