2009年上海市南汇中学高考数学模拟试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数f（x）=log₃（1+x）的定义域是    ．

2. 难度：中等

计算=    （i是虚数单位，以下同）．

3. 难度：中等

函数y=sin²x的最小正周期T=    ．

4. 难度：中等

若集合A={x|0＜x＜4}，B={x||x-1|＜a}，且A⊆B，则实数a的取值范围是    ．

5. 难度：中等

焦距为4且过点（，0）的双曲线的标准方程是    ．

6. 难度：中等

△ABC三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量，，若，则角C的大小为    ．

7. 难度：中等

（理）从4名男生和2名女生中任选3人参加“上海市实验性、示范性高中”区级评估调研座谈会，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则ξ的数学期望为    ．

8. 难度：中等

已知实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x+3y的最大值为    ．

9. 难度：中等

在极坐标系中，过点且与极轴垂直的直线l的极坐标 方程是    ．

10. 难度：中等

（文）如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为    ．

11. 难度：中等

为迎接2010年世博会召开，营造良好的生活环境，上海市政府致力于城市绿化，现有甲，乙，丙，丁4个工程队承包了5个不同的绿化工程，每个工程队至少承包1项工程，那么工程甲承包两项工程的概率是    ．

12. 难度：中等

图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含f（n）个“福娃迎迎”，则f（5）=______；f（n）-f（n-1）=______．

13. 难度：中等

若对任意x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R）有唯一确定的f（x，y）与之对应，则称f（x，y）为关于x、y的二元函数．现定义满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x、y的广义“距离”；
（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号；
（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；
（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．
今给出三个二元函数，请选出所有能够成为关于x、y的广义“距离”的序号：
①f（x，y）=|x-y|；②f（x，y）=（x-y）²；③．
能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的序号是    ．

二、选择题

14. 难度：中等

在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

15. 难度：中等

若直线ax+2by-2=0（a，b∈（0，+∞）平分圆x²+y²-4x-2y-6=0，则+的最小值是（ ）
A．4
B．3+2
C．2
D．5

16. 难度：中等

若将函数的图象向左平移a（a＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则a的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

17. 难度：中等

若函数f（x）=+2009，则对任意的x₁，x₂满足2008＜x₁＜x₂＜2009，则有（ ）
A．x₁f（x₂）＞x₂f（x₁）
B．x₁f（x₂）＜x₂f（x₁）
C．x₁f（x₂）=x₂f（x₁）
D．x₁f（x₁）=x₂f（x₂）

三、解答题

18. 难度：中等

已知复数z₁=cosθ+i和z₂=1-isinθ，i为虚数单位，求|z₁-z₂|²的最大值和最小值，并写出相应的θ的取值．

19. 难度：中等

如图，图（1）是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线．
（1）请在图（2）的正方体中画出MN、PQ；并求此时MN与PQ所成角的大小；
（2）求四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比．（说明：求角与体积时，若需画辅助图，请分别画在图（3）、（4）中）

20. 难度：中等

某公司2007年底共有员工200人，当年的生产总值为1600万元．该企业规划从2008年起的10年内每年的总产值比上一年增加100万元；同时为扩大企业规模，该企业平均每年将录取m（m＞5）名新员工；经测算，这10年内平均每年有5名员工退休．设从2008年起的第x年（2008年为第1年）该企业的人均产值为y万元．
（1）写出y与x之间的函数关系式y=f（x）；
（2）要使该企业的人均产值在10年内每年都有增长，则每年录用的新员工至多为多少人？

21. 难度：中等

为了缓解交通压力，某省在两个城市之间特修一条专用铁路，用一列火车作为公共交通车．已知每日来回趟数y是每次拖挂车厢节数x的一次函数，如果该列火车每次拖4节车厢，每日能来回16趟；如果每次拖6节车厢，则每日能来回10趟，火车每日每次拖挂车厢的节数是相同的，每节车厢满载时能载客110人．
（1）求出y关于x的函数；
（2）该火车满载时每次拖挂多少节车厢才能使每日营运人数最多？并求出每天最多的营运人数？

22. 难度：中等

已知=（0，1），直线l：y=-1，动点P到直线l的距离d=||
（1）求动点P的轨迹方程M；
（2）证明命题A：“若直线m交动点P的轨迹M于C、D两点，如m过B点，则•=-3”为真命题；
（3）写出命题A的逆命题，判断该逆命题的真假，并说明理由．

23. 难度：中等

设向量，函数在[0，1]上的最小值与最大值的和为a_n，又数列{b_n}满足：
（1）求证：a_n=n+1；
（2）求b_n的表达式；
（3）c_n=-a_n•b_n，试问数列{c_n}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有c_n≤c_k成立？证明你的结论．