2011年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）（解析版）_满分5

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2. 难度：中等
若=a+bi（a，b∈R），i是虚数单位，则乘积ab的值是（） A．-15 B．3 C．-3 D．5

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3. 难度：中等
已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₄=18-a₅，则S₈=（） A．72 B．68 C．54 D．90

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4. 难度：中等
一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示（单位：cm），则这个几何体的体积是（） A．3cm³ B．cm³ C．2cm³ D．cm³

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5. 难度：中等
已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（） A． B． C． D．

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6. 难度：中等
某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（） A．16 B．18 C．24 D．32

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7. 难度：中等
已知椭圆的焦点为F₁、F₂，在长轴A₁A₂上任取一点M，过M作垂直于A₁A₂的直线交椭圆于P，则使得的M点的概率为（） A． B． C． D．

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8. 难度：中等
定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f'（x）为f（x）的导函数，已知y=f'（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足的取值范围是（） A． B． C． D．（-∞，3）

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9. 难度：中等
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b²+c²=a²+bc，则角A的大小为．

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11. 难度：中等
在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数）和直线l：（t为参数），则圆C的普通方程为，直线l与圆C的位置关系是．

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12. 难度：中等
如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为．

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13. 难度：中等
已知两定点M（-1，0），N（1，0），若直线上存在点P，使\|PM\|+\|PN\|=4，则该直线为“A型直线”．给出下列直线，其中是“A型直线”的是 ①y=x+1②y=2③y=-x+3④y=-2x+3

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14. 难度：中等
函数y=x²（x＞0）的图象在点（a_n，a_n²）处的切线与x轴交点的横坐标为a_n+1，n∈N^*，若a₁=16，则a₃+a₅= ，数列{a_n}的通项公式为．

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15. 难度：中等
在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c且4sin²-cos2C=．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinA+sinB的最大值．

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16. 难度：中等

为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志原者的年龄情况如下表所示．
（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图）再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35）岁的人数；

（Ⅱ）在抽出的100名志原者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．

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17. 难度：中等
在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为A₁D₁和CC₁的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD₁；（Ⅱ）求异面直线EF与AB所成的角的余弦值；（Ⅲ）在棱BB₁上是否存在一点P，使得二面角P-AC-B的大小为30°？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

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18. 难度：中等
已知函数．（a∈R）（1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围．

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19. 难度：中等
已知椭圆+=1经过点P（，），离心率是，动点M（2，t）（t＞0）（1）求椭圆的标准方程；（2）求以OM为直径且别直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F做OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON长是定值，并求出定值．

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20. 难度：中等
已知定义在R上的函数f（x）和数列{a_n}，a₁=a，a₂≠a₁，当n∈N^且n≥2时，a_n=f（a_n-1），且f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1），其中a，k均为非零常数．（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，求k的值；（Ⅱ）令b_n=a_n+1-a_n（n∈N^），若b₁=1，求数列{b_n}的通项公式；（Ⅲ）若数列{a_n}为等比数列，求函数f（x）的解析式．