2010年江西省赣州市崇义中学高三热身数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知a∈R，设集合A={x||x-1|≤2a-a²-2}，则A的子集个数共有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．无数个

2. 难度：中等

（C₄¹x+C₄²x²+C₄³x³+C₄⁴x⁴）²的展开式中所有项的系数和为（ ）
A．64
B．128
C．225
D．256

3. 难度：中等

设0＜θ＜π，若cosθ+sinθi=，则θ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若m、n是空间两条不同直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，对于下列命题：
①m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β②若m、n与所成的角相等，则m∥n
③m⊥α，m⊥n⇒n∥α④α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β其中正确命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4

5. 难度：中等

以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是（ ）
A．x²+y²-10x+9=0
B．x²+y²-10x-9=0
C．x²+y²+10x+9=0
D．x²+y²+10x-9=0

6. 难度：中等

给出下列四个命题：①若，则；②若ξ～N（2，4），，则η～N（0，1）③若ξ～N（1，σ²）（σ＞0），且P（0＜ξ＜2）=0.8，则P（0＜ξ＜1）=0.4；④若ξ～N（2，9），且P（ξ＞a+b）=P（ξ＜a-b），则a=2．其中真命题的序号是（ ）
A．①②④
B．①③④
C．②③④
D．①②③④

7. 难度：中等

设a∈R，函数f（x）=e^x+a•e^-x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（ ）
A．ln2
B．-ln2
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=cosx，x∈（，3π），若方程f（x）=a有三个不同的根，则“三个根从小到大依次成等比数列”是“a=-”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分也不必要条件

9. 难度：中等

如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若，则x，y等于（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

（k＞1）所表示的平面区域为D，若D的面积为S，则的最小值为（ ）
A．24
B．30
C．32
D．64

11. 难度：中等

假设消息M发生的概率为P（M）时，消息M所含的信息量为f（M）=log₂[p（M）+]．若某人甲正在一个有4排8列座位的小型会议室听报告，且任一座位接受消息M是等可能的．则以下4条关于甲的消息中，信息量最大的是（ ）
A．甲坐在第二排
B．甲坐在第四列
C．甲坐在第二排第四列
D．甲坐在第二排或第三排

12. 难度：中等

函数的值域是（ ）
A．[-]
B．[-1，0]
C．[-]
D．[-]

二、解答题

13. 难度：中等

已知函数在R上连续，则 =    ．

14. 难度：中等

△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且lga-lgb=lgcosB-lgcosA≠0．则△ABC的形状是    ．

15. 难度：中等

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为1，高为2，一直径为1的球O恰与底面ABCD及四个侧面都相切，直线AC₁与球O交于MN两点，则MN的长为    ．

16. 难度：中等

已知圆O：x²+y²=1，圆O₁：（x-acosθ）²+（y-bsinθ）²=1（a、b为常数，θ∈R）对于以下命题，其中正确的有    ．
①a=b=1时，两圆上任意两点距离d∈[0，1]
②a=4，b=3时，两圆上任意两点距离d∈[1，6]
③a=b=1时，对于任意θ，存在定直线l与两圆都有公共点
④a=4，b=3时，对于任意θ，存在定直线l与两圆都有公共点．

17. 难度：中等

已知△ABC中，．设∠CBA=θ，BC=a，它的内接正方形DEFG的一边EF在斜边AB上，D、G分别在AC、BC上．假设△ABC的面积为S，正方形DEFG的面积为T．用a，θ表示△ABC的面积S和正方形DEFG的面积T；
设，试求f（θ）的最大值P，并判断此时△ABC的形状．

18. 难度：中等

崇义县环保局决定对阳明湖的四个区域A、B、C、D的水质进行检测，水质分为I、II、III类，每个区域的检测方式如下：分别在同一天的上、下午各进行一次检测，若两次检测中有III类或两次都是II类，则该区域的水质不合格，设各区域的水质相互独立，且每次检测的结果也相互独立，根据多次抽检结果，一个区域一次检测水质为I、II、III三类的频率依次为，，
（I）在阳明湖的四个区域中任取一个区域，估计该区域水质合格的概率；
（II）如果对阳明湖的四个区域进行检测，记在上午检测水质为I类的区域数为ξ，并以水质为I 类的频率作为水质为I类的概率，求ξ的分布列及期望值．

19. 难度：中等

正四面体A-BCD的棱长为1，（Ⅰ）如图（1）M为CD中点，求异面直线AM与BC所成的角；（Ⅱ）将正四面体沿AB、BD、DC、BC剪开，作为正四棱锥的侧面如图（2），求二面角M-AB-E的大小；（Ⅲ）若将图（1）与图（2）面ACD重合，问该几何体是几面体（不需要证明），并求这几何体的体积．

20. 难度：中等

A﹑B﹑C是直线l上的三点，向量﹑﹑满足：-[y+2f'（1）]•+ln（x+1）•=；
（Ⅰ）求函数y=f（x）的表达式；          
（Ⅱ）若x＞0，证明f（x）＞；
（Ⅲ）当时，x∈[-1，1]及b∈[-1，1]都恒成立，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

如图，A、B分别是椭圆的公共左右顶点，P、Q分别位于椭圆和双曲线上且不同于A、B的两点，设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k₁、k₂、k₃、k₄且k₁+k₂+k₃+k₄=0．（1）求证：O、P、Q三点共线；（O为坐标原点）
（2）设F₁、F₂分别是椭圆和双曲线的右焦点，已知PF₁∥QF₂，求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值．

22. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹ （n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=，数列{b_n}的前n项和为B_n，若存在整数m，使对任意n∈N*且n≥2，都有B_3n-B_n＞成立，求m的最大值；
（Ⅲ）令c_n=（-1）ⁿ⁺¹，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：当n∈N*且n≥2时，T_2n＜．