2009年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={2，3，5}，那么集合A∪（C_∪B）等于（ ）
A．{1，2，3，4，5}
B．{3，4}
C．{1，3，4}
D．{2，3，4，5}

2. 难度：中等

设i是虚数单位，复数z=tan45°-isin60°，则z²等于（ ）
A．
B．i
C．i
D．

3. 难度：中等

若数列{a_n}是公比为4的等比数列，且a₁=2，则数列{log₂a_n}是（ ）
A．公差为2的等差数列
B．公差为lg2的等差数列
C．公比为2的等比数列
D．公比为lg2的等比数列

4. 难度：中等

设a为常数，函数f（x）=x²-4x+3．若f（x+a）为偶函数，则a等于（ ）
A．-2
B．2
C．-1
D．1

5. 难度：中等

已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是（ ）
A．存在一条直线b，a∥b，b⊂α
B．存在一条直线b，a⊥b，b⊥α
C．存在一个平面β，a⊂β，α∥β
D．存在一个平面β，a⊥β，a⊥β

6. 难度：中等

与直线x-y-4=0和圆x²+y²+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是（ ）
A．（x+1）²+（y+1）²=2
B．（x+1）²+（y+1）²=4
C．（x-1）²+（y+1）²=2
D．（x-1）²+（y+1）=4

7. 难度：中等

设a，b∈R，且b（a+b+1）＜0，b（a+b-1）＜0，则（ ）
A．a＞1
B．a＜-1
C．-1＜a＜1
D．|a|＞1

8. 难度：中等

函数f（x）的定义域为D，若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）在D上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②；③f（1-x）=1-f（x）．则=（ ）
A．
B．
C．1
D．

二、解答题

9. 难度：中等

的值等于    ．

10. 难度：中等

的展开式中x²的系数是    ；其展开式中各项系数之和为    ．（用数字作答）

11. 难度：中等

不等式|2x-1|＞|x|的解集为    ．

12. 难度：中等

设O为坐标原点，向量．将绕着点O按逆时针方向旋转90°得到向量，则2的坐标为     ．

13. 难度：中等

给出下列四个函数：①y=sinx+cosx；②y=sinx-cosx；③y=sinx•cosx；
④．其中在上既无最大值又无最小值的函数是    ．（写出全部正确结论的序号）

14. 难度：中等

已知函数f（x）由下表给出：

x		1	2	3	4
f（x）	a	a1	a2	a3	a3

其中a_k=（k=0，1，2，3，4）等于在a，a₁，a₂，a₃中k所出现的次数．
则a₄=    ； a+a₁+a₂+a₃=    ．

15. 难度：中等

我校高一年级研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生．在研究学习过程中，要进行两次汇报活动（即开题汇报和结题汇报），每次汇报都从这9名学生中随机选1人作为代表发言．设每人每次被选中与否均互不影响．
（Ⅰ）求两次汇报活动都由小组成员甲发言的概率；
（Ⅱ）设ξ为男生发言次数与女生发言次数之差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望．

16. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为，|OB|=2，设．
（Ⅰ）用θ表示点B的坐标及|OA|；
（Ⅱ）若，求的值．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BCD=90°，AB∥CD，又AB⊥PC．
（Ⅰ）求证：PC⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B-PD-C的大小；
（Ⅲ）求点B到平面PAD的距离．

18. 难度：中等

设a∈R，函数f（x）=-（x-1）²+2（a-1）ln（x+1）．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=4x-1，求a的值；
（Ⅱ）当a＜1时，讨论函数f（x）的单调性．

19. 难度：中等

已知椭圆，过点M（0，3）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B．
（1）若l与x轴相交于点N，且A是MN的中点，求直线l的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），求当|AB|＜时，实数λ的取值范围．

20. 难度：中等

设m＞3，对于有穷数列{a_n}（n=1，2，3…，m），令b_k为a₁，a₂…a_k中的最大值，称数列{b_n}为{a_n}的“创新数列”．数{b_n}中不相等项的个数称为{a_n}的“创新阶数”．例如数列2，1，3，7，5的创新数列为2，2，3，7，7，创新阶数为3．
考察自然数1，2…m（m＞3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{c_n}．
（Ⅰ）若m=5，写出创新数列为3，4，4，5，5的所有数列{c_n}；
（Ⅱ） 是否存在数列{c_n}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列{c_n}，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）在创新阶数为2的所有数列{c_n}中，求它们的首项的和．