2004年广东省深圳市松岗中学高考数学模拟试卷（1）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

从集合M={不大于10的正自然数}中，选取三个数，使这三个数组成公差d=-3的等差数列，则这样的等差数列一共有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

2. 难度：中等

集合M={x||x-3|≤4}，N={y|y=}，则 M∩N=（ ）
A．{0}
B．{2}
C．∅
D．{x|2≤x≤7}

3. 难度：中等

在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

4. 难度：中等

是函数f（x）=ln（e^x+1）+ax为偶函数的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

若函数f（x）=2cos（ωx+φ）对任意实数x都有，那么的值等于（ ）
A．-2
B．2
C．±2
D．不能确定

6. 难度：中等

已知函数f（x）满足f（0）=1，f（x+1）=+f（x） （x∈R），则数列{f（n）}的前20项和为（ ）
A．305
B．315
C．325
D．335

7. 难度：中等

轴截面为正方形的圆柱，其侧面积为8π，则这个圆柱的内切球表面积等于（ ）
A．8π
B．
C．
D．

8. 难度：中等

函数的一个单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．[1，+∞）

9. 难度：中等

设a_p、a_q是数列{a_n}的任意两项（p，q，n∈N₊），且a_p=a_q+2003（p-q），那么数列{a_n}（ ）
A．不是等差数列
B．是等差数列
C．可能是等比数列
D．是常数列

10. 难度：中等

两个正数a、b的等差中项是5，等比例中项是4，若a＞b，则双曲线-=1的离心率e等于（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

对一组数据x_i（i=1，2，…，n），如将它们改为x_i-m（i=1，2，…，n），其中m≠0．则下面结论正确的是（ ）
A．平均数与方差都不变
B．平均数与方差都变了
C．平均数不变，方差变了
D．平均数变了，方差不变

12. 难度：中等

已知函数f₁（x）=x²，f₂（x）=2^x，f₃（x）=log₂x，f₄（x）=sinx．当x₁＞x₂＞π时，使恒成立的函数是（ ）
A．f₁（x）=x²
B．f₂（x）=2^x
C．f₃（x）=log₂
D．f₄（x）=sin

二、解答题

13. 难度：中等

若不等式ax²+5x+c＞0的解集是，则a-c=    ．

14. 难度：中等

已知直角坐标平面内两点，那么这两点之间距离的最小值等于    ．

15. 难度：中等

设（1+x+x²）ⁿ=a+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_2nx²ⁿ，则a+a₂+a₄+…+a_2n=    ．

16. 难度：中等

设F₁，F₂是椭圆两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF₁|-|PF₂|=1，若∠F₁PF₂=α，则cos2α=    ．

17. 难度：中等

向量与满足，且夹角为60°，，（x∈R）．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）当f（x）=-15且2x+11≠0时，求向量与向量的夹角．

18. 难度：中等

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是A₁B₁和B₁B的中点．
（1）求直线AM和CN所成角的大小；
（2）若P为B₁C₁的中点，求证：B₁D⊥平面PMN；
（3）求点A到平面PMN的距离．

19. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n，且．
（1）若等差数列{b_n}恰好使数列{a_n+b_n}成公比为的等比数列，求通项b_n
（2）求通项a_n
（3）求的值．

20. 难度：中等

在三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验．
（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；
（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率．（精确到0.001）

21. 难度：中等

如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：x²+（y-3）²=1．
（1）若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；
（2）过点F的直线g交轨迹E于G（x₁，y₁）、H（x₂，y₂）两点，求证：x₁x₂ 为定值；
（3）过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）对任意实数x都有f（x+1）+f（x）=1，且当x∈[0，2]时，f（x）=|x-1|．
（1）当x∈[2k，2k+2]（k∈Z）时，求f（x）的表达式．
（2）证明f（x）是偶函数．
（3）试问方程是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由．