2011年江苏省无锡市惠山区华罗庚中学高考数学模拟试卷4（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

复数（1+2i）²的共轭复数是    ．

2. 难度：中等

已知集合A={-1，a}，B={2^a，b}，若A∩B={1}，则A∪B=    ．

3. 难度：中等

某校对全校1200名男女学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了85人，则该校的男生数应是    人．

4. 难度：中等

如图是一个算法的流程图，最后输出的S=    ．

5. 难度：中等

设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，则=    ．

6. 难度：中等

已知集合A=（x，y）|x一2y一l=0}，B={（x，y）|ax-by+1=0}，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，则A∩B=ϕ的概率为    ．

7. 难度：中等

若圆C：（x-h）²+（y-1）²=1在不等式x+y+1≥0所表示的平面区域内，则h的最小值为    ．

8. 难度：中等

设点P（x，y）是函数y=tanx与y=-x（x＞0）的图象的一个交点，则（x²+1）（cos2x+1）=    ．

9. 难度：中等

y=x³+ax+1的一条切线方程为y=2x+1，则a=    ．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=|x+1|+|x-a|关于x=1对称，则不等式f（x²-3）＜f（x-1）的解为    ．

11. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均等于1，且∠A₁AB=∠A₁AC=60°，则该三棱柱的体积是    ．

12. 难度：中等

如图，已知椭圆的左、右准线分别为l₁，l₂，且分别交x轴于C，D两点，从l₁上一点A发出一条光线经过椭圆的左焦点F被x轴反射后与交于点B，若AF⊥BF，且∠ABD=75°，则椭圆的离心率等于    ．

13. 难度：中等

将一个长宽分别a，b（0＜a＜b）的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围为    ．

14. 难度：中等

设a₁，a₂，…，a_n是各项不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为    ．

15. 难度：中等

已知，，．
（1）若，记α-β=θ，求的值；
（2）若，β≠kπ（k∈Z），且∥，求证：．

16. 难度：中等

如图，已知▱ABCD，直线BC⊥平面ABE，F为CE的中点．
（1）求证：直线AE∥平面BDF；
（2）若∠AEB=90°，求证：平面BDF⊥平面BCE．

17. 难度：中等

如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数（A＞0，ω＞0），x∈[-4，0]时的图象，且图象的最高点为B（-1，2）．赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD，且CD∥EF．赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧．
（1）求ω的值和∠DOE的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．

18. 难度：中等

如图，在直角坐标系中，A，B，C三点在x轴上，原点O和点B分别是线段AB和AC的中点，已知AO=m（m为常数），平面上的点P满足PA+PB=6m．
（1）试求点P的轨迹C₁的方程；
（2）若点（x，y）在曲线C₁上，求证：点一定在某圆C₂上；
（3）过点C作直线l，与圆C₂相交于M，N两点，若点N恰好是线段CM的中点，试求直线l的方程．

19. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项的和为S_n，已知．
（1）求S₁，S₂及S_n；
（2）设，若对一切n∈N^*，均有，求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，求实数a的取值范围；
（2）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[-2，2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）．