2011年重庆一中高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，以F₁F₂为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则当△PF₁F₂的面积等于a²时，双曲线的离心率为    ．

2. 难度：中等

△ABC的三边a、b、c和面积S满足：S=a²-（b-c）²，且△ABC的外接圆的周长为17π，则面积S的最大值等于    ．

3. 难度：中等

已知函数．
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

4. 难度：中等

某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将四本由不同作者所著的外国名著A、B、C、D与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线．每连对一个得3分，连错得-1分，一名观众随意连线，他的得分记作ξ．
（1）求该观众得分ξ为非负的概率；
（2）求ξ的分布列及数学期望．

5. 难度：中等

已知函数
（Ⅰ）当m＞0时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当m≥1时，曲线C：y=f（x）在点P（0，1）处的切线l与C有且只有一个公共点，求m的取值的集合M．

6. 难度：中等

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，E为AB的中点，BA₁⊥AC₁．
（I）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（II）求二面角B-A₁E-C余弦值的大小．

7. 难度：中等

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆x²+3y²=1上的两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）设，，（θ∈R）．求证：点M在椭圆上；
（Ⅱ）若，求的最小值．

8. 难度：中等

若实数列{a_n}满足a_k-1+a_k+1≥2a_k（k=2，3，…），则称数列{a_n}为凸数列．
（Ⅰ）判断数列是否是凸数列？
（Ⅱ）若数列{a_n}为凸数列，k、n、m∈N₊，且k＜n＜m，
（i）求证：；
（ii）设S_n是数列{a_n}的前n项和，求证：．

二、选择题

9. 难度：中等

已知集合M是函数y=lg（1-x）的定义域，集合N={y|y=e^x，x∈R}（e为自然对数的底数），则M∩N=（ ）
A．{x|x＜1}
B．{x|x＞1}
C．{x|0＜x＜1}
D．φ

10. 难度：中等

已知复数，则z⁴=（ ）
A．4
B．-4
C．4i
D．-4i

11. 难度：中等

在各项均为实数的等比数列{a_n}中，，则=（ ）
A．2
B．8
C．16
D．32

12. 难度：中等

过点A（1，4），且横、纵截距的绝对值相等的直线的条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

13. 难度：中等

在（0，2π）内，使sinx≥|cosx|成立的x的取值范围为（ ）
A．[]
B．[]
C．[]
D．[]

14. 难度：中等

已知数列{a_n}（n=1，2，3…6）满足a_n∈{1，2，3，4，5，6，7}，且当i≠j（i．j=1，2，3…6）时，a_i≠a_j．若a₁＞a₂＞a₃，a₄＜a₅＜a₆，则符合条件的数列{a_n}的个数是（ ）
A．140
B．160
C．840
D．5040

15. 难度：中等

一个总体共有600个个体，随机编号为001，002，…，600．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600个个体分三组，从001到300在第1组，从301到495在第2组，从496到600在第3组．则第3组被抽中的个数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10

16. 难度：中等

a，b，c为互不相等的正数，a²+c²=2bc，则下列关系中可能成立的是（ ）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．a＞c＞b
D．b＞c＞a

17. 难度：中等

在棱锥P-ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面△ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为1、2、3，则以线段PQ为直径的球的表面积为（ ）
A．10π
B．12π
C．14π
D．16π

18. 难度：中等

如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设=a+β（α，β∈R），则α+β的取值范围是（ ）
A．（0，]
B．[，]
C．（1，）
D．（1，）

三、解答题

19. 难度：中等

=    ．

20. 难度：中等

若f（x）是R上的奇函数，则函数y=f（x+1）-2的图象必过定点    ．

21. 难度：中等

函数f（x）=（1+cosx）⁸+（1-cosx）⁸（x∈R）的最大值等于    ．