2010年北京大学附中高三数学提高练习试卷（8）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

1、已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长均为1，对于下列结论：
（1）BD₁⊥平面A₁DC₁；
（2）A₁C₁和AD₁所成角为45°；
（3）点A和点C₁在该正方体外接球表面上的球面距离为；
（4）E到平面ABC₁的距离为（E为A₁B₁中点）
其中正确的结论个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

2. 难度：中等

设a=（a₁，a₂），b=（b₁，b₂），定义一种向量积：a⊗b=（a₁，b₁）⊗（b₁，b₂）=（a₁b₁，a₂b₂）．已知m=，n=，点P（x，y）在y=sin x的图象上运动，点Q在y=f（x）的图象上运动，且满足（x，f（x））=m⊗n（其中O为坐标原点），则y=f（x）的最大值A及最小正周期T分别（ ）
A．2，π
B．2，4π
C．，4π
D．，π

3. 难度：中等

椭圆C₁：的左准线为l，左、右焦点分别为F₁、F₂，抛物线C₂的准线为l，焦点为F₂，C₁与C₂的一个交点为P，线段PF₂的中点为G，O是坐标原点，则的值为（ ）
A．-1
B．1
C．-
D．

二、解答题

4. 难度：中等

对于一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f（x）=[x]为高斯实数或取实数，若，S_n为数列{a_n}的前n项和，则S_3n=    ．

5. 难度：中等

圆C的方程为（x-2）²+y²=4，圆M的方程为（x-2-5cosθ）²+（y-5sinθ）²=1（θ∈R），过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，则的最小值为    ．

6. 难度：中等

已知二次函数f（x）=x²+2bx+c（b，c∈R）满足f（1）=0，且关于x的方程f（x）+x+b=0的两实数根分别在区间（-3，-2），（0，1）内．
（1）求实数b的取值范围；
（2）若函数F（x）=log_bf（x）在区间（-1-c，1-c）上具有单调性，求实数c的取值范围．

7. 难度：中等

在△ABC中，，点B是椭圆的上顶点，l是双曲线x²-y²=-2位于x轴下方的准线，当AC在直线l上运动时．
（1）求△ABC外接圆的圆心P的轨迹E的方程；
（2）过定点F（0，）作互相垂直的直线l₁、l₂，分别交轨迹E于点M、N和点R、Q．求四边形MRNQ的面积的最小值．

8. 难度：中等

已知函数y=|x|+1，，（x＞0）的最小值恰好是方程x³+ax²+bx+c=0的三个根，其中0＜t＜1．
（Ⅰ）求证：a²=2b+3；
（Ⅱ）设（x₁，M），（x₂，N）是函数f（x）=x³+ax²+bx+c的两个极值点．
①若，求函数f（x）的解析式；
②求|M-N|的取值范围．