2010年广东省深圳市龙城高级中学高二竞赛班选拔性测试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，则满足A∪B=B的所有a的集合是（ ）
A．{a|1≤a≤9}
B．{a|6≤a≤9}
C．{a|a≤9}
D．∅

2. 难度：中等

tanA₁•tanA₂=1，那么sinA₁•sinA₂的最大值是（ ）
A．2^-2
B．
C．2^-1
D．2

3. 难度：中等

已知关于x的方程|x|=ax+1有一个负根而且没有正根，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a≥1}
B．{a|a≥1或a≤-1}
C．{a|a＞1或a＜-1}
D．{a|0＜a＜1}

4. 难度：中等

函数f（x）=x^α，对任意的x∈（-1，0）∪（0，1），若不等式f（x）＞x恒成立，则在的条件下，α可以取的值的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

5. 难度：中等

若偶函数f（x）在区间[-1，0]上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是（ ）
A．f（cosα）＞f（cosβ）
B．f（sinα）＞f（cosβ）
C．f（sinα）＞f（sinβ）
D．f（cosα）＞f（sinβ）

6. 难度：中等

已知θ是第二象限角，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

等差数列{a_n}中有两项a_m和a_k满足（其中m，k∈N^*，且m≠k），则该数列前mk项之和是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设函数，若xf（x）≤g（x）对于一切x∈R都成立，则函数g（x）可以是（ ）
A．g（x）=sin
B．g（x）=
C．g（x）=x²
D．g（x）=|x|

9. 难度：中等

如图，在凸四边形ABCD中，AB=4，BC=3，CD=，且∠ADC=∠ABC=90°，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若点P是△ABC的外心，且，∠C=120°，则λ的值为（ ）
A．1
B．-1
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）=2，则的值为    ．

12. 难度：中等

定义集合A、B的一种运算：A*B={x|x=x₁+x₂，其中x₁∈A，x₂∈B}，若A={1，2，3}，B={1，2}，则A*B中的所有元素数字之和为    ．

13. 难度：中等

已知α、β均为锐角，且cos（α+β）=sin（α-β），则tan α=    ．

14. 难度：中等

已知图象连续不断的函数y=f（x）在区间（a，b）（b-a=0.1）上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确到0.000 1）的近似值，那么将区间（a，b）等分的次数至多是    ．

15. 难度：中等

设0≤x≤2π，则满足不等式的x的取值范围是    ．

16. 难度：中等

函数f（x）=x-[x]，x∈R（其中[x]表示不超过x的最大整数）的最小正周期是    ．

17. 难度：中等

已知函数，若函数y=g（x）的图象与函数y=f^-1（x+1）的图象关于直线y=x对称，则g（11）的值为    ．

18. 难度：中等

使不等式对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为    ．

19. 难度：中等

将正奇数集合{1，3，5，…}从小到大按第n组有2n-1个奇数进行分组，即第一组、第二组、第三组…的数分别构成集合{1}，{3，5，7}，{9，11，13，15，17}，…，则2007位于第    组．

20. 难度：中等

如图：O，A，B是平面上三点，向量，，在平面AOB上，P是线段AB垂直平分线上的任一点，向量，且||=3，||=2，则=    ．

21. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=19，a₂=98，当a_n+1≠0时，，当a_n+1=0时，a_n+2=0，n∈N^*，则当a_m=0时，m的最小值为    ．

22. 难度：中等

令f（n）=log_（n+1）（n+2）（n∈N^*），如果对k（k∈N^*），满足f（1）•f（2）…f（k）为整数，则称k为“好数”，那么区间[1，2008]内所有“好数”的和M=    ．

23. 难度：中等

若2⁶+2⁹+2ⁿ为一个平方数，则正整数n=    ．

24. 难度：中等

设S={r₁，r₂，…，r_n}⊆{1，2，3，…，50}，且S中任意两数之和不能被7整除，则n的最大值为    ．

25. 难度：中等

已知95个数a₁，a₂，…，a₉₅每个都只能取+1或-1两个值之一，那么它们的两两之积的和a₁a₂+a₁a₃+…+a₉₄a₉₅的最小正值为    ．

26. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）满足条件：对任意实数x都有f（x）≥2x；且当0＜x＜2时，总有成立．
（1）求f（1）的值；
（2）求f（-1）的取值范围．

27. 难度：中等

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）满足条件：
（1）当x∈R时，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥x：
（2）当x∈（0，2）时，f（x）≤；
（3）f（x）在R上的最小值为0．
求最大的m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．