2011年甘肃省部分普通高中高三第二次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设P={x|x＜1}，Q={x|x²＜4}，则P∩Q（ ）
A．{x|-1＜x＜2}
B．{x|-3＜x＜-1}
C．{x|1＜x＜-4}
D．{x|-2＜x＜1}

2. 难度：中等

已知向量=（n，4），=（1，n），则n=2是∥的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不要必条件

3. 难度：中等

函数y=-x²（x≤0）的反函数是（ ）
A．y=-（x≥0）
B．y=（x≤0）
C．y=（x≥0）
D．y=（x≤0）

4. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前13项之和为，则tan（a₆+a₇+a₈）等于（ ）
A．
B．
C．-1
D．1

5. 难度：中等

已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n
B．l⊥β，α⊥β⇒l∥α
C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α
D．α∥β，l⊥α⇒l⊥β

6. 难度：中等

设曲线y=x³-3x²+（3-）x+在x=1处的切线的倾斜角为α，则α的取值是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=sin （ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）
A．关于点（，0）对称
B．关于直线x=对称
C．关于点（，0）对称
D．关于直线x=对称

8. 难度：中等

将6个名额全部分配给3所学校，每校至少一个名额且各校名额各不相同，则分配方法的种数为（ ）
A．21
B．36
C．6
D．216

9. 难度：中等

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长AB=2BB₁，则异面直线AB₁与BC所成的角的余弦值是（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知向量与关于x轴对称，j=（0，1），则满足不等式的点Z（x，y）的集合用阴影表示为如图中的（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知点F₁、F₂为椭圆的左右焦点，过F₁的直线l交该椭圆于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）两点，△ABF₂的内切圆的周长为π，则|y₁-y₂|的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

设二次函数f（x）=ax²-4x+c的值域为[0，+∞），则的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

已知（3x-1）⁷=a₇x⁷+a₆x⁶+…+a₁x+a则a+a₁+a₂+…+a₇=    ．

14. 难度：中等

如图所示的是某班60名同学参加2011年高中数学毕业会考所得成绩（成绩均为整数）整理后画出的频率分布直方图，根据图中可得出的该班不及格（60分以下）的同学的人数为    ．

15. 难度：中等

若变量x、y满足，则的最小值为    ．

16. 难度：中等

在半径为R的球O内有一内接正三棱锥S-ABC，△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，一个动点P从顶点S出发沿球面运动，经过其余三点A、B、C后返回点S，则点P经过的最短路程是    ．

17. 难度：中等

已知函数，
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，已知A为锐角，f（A）=1，，求AC边的长．

18. 难度：中等

某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立．根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5，0.6，0.4．第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.6，0.5，0.5．
（1）求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率；
（2）分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率；
（3）求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率．

19. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，数列{b_n}的前n项的和为S_n，且S_n=1-
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_nb_n，求证c_n+1≤c_n．

20. 难度：中等

如图1，在平面内，ABCD边长为2的正方形，ADD″A₁和CDD″C₁都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D″与D′重合于点D₁．设直线l过点B且垂直于正方形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D₁位于平面ABCD同侧，设BE=t（t＞0）（图2）．
（1）设二面角E-AC-D₁的大小为θ，当t=2时，求θ的余弦值；
（2）当t＞2时在线段D₁E上是否存在点P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，若存在，求出P分所成的比λ；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知双曲线（a＞0，b＞0）的上、下顶点分别为A、B，一个焦点为F（0，c）（c＞0），两准线间的距离为1，|AF|、
|AB|、|BF|成等差数列．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设过点F作直线l交双曲线上支于M、N两点，如果S_△MON=tan∠MON，求△MBN的面积．

22. 难度：中等

已知函数．
（1）当a＞2时，求函数f（x）的极小值；
（2）试讨论曲线y=f（x）与x轴的公共点的个数．