2009年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若，则实数a等于（ ）
A．1
B．2
C．
D．

2. 难度：中等

已知与的夹角为60°，且||=2，||=1，则与的夹角等于（ ）
A．150°
B．90°
C．60°
D．30°

3. 难度：中等

函数f（x）=3sin（2x-）的图象为C，下列结论中正确的是（ ）
A．图象C关于直线x=对称
B．图象C关于点（-，0）对称
C．函数f（x）在区间（-，）内是增函数
D．由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C

4. 难度：中等

执行如图的程序框图，如果输入a=10，b=11，则输出的S等于（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知空间任一点O和不共线的三点A，B，C，满足是“点P位于平面ABC内”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

半径为2的球面上有A，B，C，D四点，且AB，AC，AD两两垂直，则三个三角形面积之和S_△ABC+S_△ACD+S_△ADB的最大值为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32

7. 难度：中等

如图，设平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选顶中的（ ）

A．AC⊥β
B．AC⊥EF
C．AC与BD在β内的射影在同一条直线上
D．AC与α、β所成的角都相等

8. 难度：中等

设函数f（x）=xsinx在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a₁，a₂，…a_n…，则对任意正整数n必有（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，过双曲线的左焦点F作圆x²+y²=a²的一条切线（切点为T）交双曲线右支于点P，若M为FP的中点．则|OM|-|MT|等于（ ）
A．b-a
B．a-b
C．
D．a+b

10. 难度：中等

设函数，区间M=[a，b]（a＜b），集合N={y|y=f（x），x∈M}，则使M=N成立的实数对（a，b）有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．无数多个

二、解答题

11. 难度：中等

函数，使函数值为5的x的值是     ．

12. 难度：中等

若（x+1）ⁿ=a+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ（x∈N^*）且a₁+a₂=21，则在展开式的各项系数中，最大值等于    ．

13. 难度：中等

如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直径为1的圆，那么这个几何体的侧面积为     ．

14. 难度：中等

直线x+2y-2=0经过椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于    ．

15. 难度：中等

若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为    ．

16. 难度：中等

现有一批长度为3，4，5，6和7的细木棒，它们数量足够多，从中适当取3根，组成不同的三角形中直角三角形的概率是    ．

17. 难度：中等

如图，把正三角形ABC分成若干全等的小正三角形，且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数，使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等．设点A为第一行，…，BC为第n行，
记点A上的数为a_1，1，…，第I行中第j个数为则下列结论中正确的是    （把正确结论的序号都填上）．
①a_1，1a_5，3=a_3，1a_3，3；
②a_3，1a_4，2a_5，3…a_n，n-2=a_3，3a_4，3a_5，3…a_n，3
③
④a_i，i+a_i+1，i+a_i+2，i+…+a_n，i=2^n-i（a_n，i+a_n，i+1+a_n，i+2+…+a_n，n）

18. 难度：中等

甲乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干．每个袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n个．从一个袋子中 任取两个球，取到的标号都是2的概率是．
（1）求n的值；
（2）从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率；
（3）从两个袋子中各取一个小球，用ξ表示这两个小球的标号之和，求ξ的分布列和Eξ．

19. 难度：中等

如图，在直角坐标系xOy中，锐角△ABC内接于圆x²+y²=1．已知BC平行于x轴，AB所在直线方程为y=kx+m（k＞0），记角A，B，C所对的边分别是a，b，c．
（1）若的值；
（2）若的值．

20. 难度：中等

如图，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=a（a＞0），M是线段EF的中点．
（1）求证：AC⊥BF；
（2）若二面角F-BD-A的大小为60°，求a的值；
（3）令a=1，设点P为一动点，若点P从M出发，沿棱按照M→E→C的路线运动到点C，求这一过程中形成的三棱锥P-BFD的体积的最小值．

21. 难度：中等

如图，在直角坐标系xOy中，△A_iB_iA_i+1（i=1，2，…，n，…）为正三角形，．
（1）求证：点B₁，B₂，…，B_n，…在同一条抛物线上，并求该抛物线C的方程；
（2）设直线l过坐标原点O，点B₁关于l的对称点B′在y轴上，求直线l的方程；
（3）直线m过（1）中抛物线C的焦点F并交C于M、N，若，抛物线C的准线n与x轴交于E，求证：的夹角为定值．

22. 难度：中等

已知
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）-a=0恰有一个实数解，求实数a的取值范围；
（3）已知数列，若不等式f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₀₉）≤x-ln（x-p）在x∈（p，+∞）时恒成立，求实数p的最小值．