2010-2011学年湖南省长沙市雅礼中学高三月考数学试卷8（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，4}，∁_UB={4，5}，则A∩B=（ ）
A．{1，2}
B．{4}
C．{1，2，3}
D．{3，5}

2. 难度：中等

复数等于（ ）
A．-1+i
B．1+i
C．-2+2i
D．2+2i

3. 难度：中等

设S_n是等差数列{a_n}前n项和，若a₄=9，S₃=15，则数列{a_n}的通项为（ ）
A．2n-3
B．2n-1
C．2n+1
D．2n+3

4. 难度：中等

在下列结论中，正确的结论是（ ）
①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；
②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件；
③“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件；
④“¬p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件．
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④

5. 难度：中等

设点P是双曲线与圆x²+y²=a²+b²在第一象限的交点，F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，且|PF₁|=2|PF₂|，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数是（ ）
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数

7. 难度：中等

如图，已知球O是棱长为1 的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球，则平面ACD₁截球O的截面面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知x，y满足，每一对整数（x，y）对应平面上一个点，则过这些点中的其中3个点可作不同的圆的个数为（ ）
A．45
B．36
C．30
D．27

二、解答题

9. 难度：中等

二项式的展开式中常数项是第    项．

10. 难度：中等

（文）一几何体的主视图、左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为    ．

11. 难度：中等

如图所示的程序框图，若输入n=5，则输出的n值为   

12. 难度：中等

直线与抛物线y²=4x相交于A、B两点，与x轴相交于点F，若，则=    ．

13. 难度：中等

设x_n={1，2…，n}（n∈N₊），对x_n的任意非空子集A，定义f（A）为A中的最小元素，当A取遍x_n的所有非空子集时，对应的f（A）的和为S_n，则：①S₃=    ，②S_n=    ．

14. 难度：中等

如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为    ．

15. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）已知圆C的圆心为，半径为5，直线被圆截得的弦长为8，则α=    ．

16. 难度：中等

（不等式选做题）已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a．若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，则实数a的取值范围为    ．

17. 难度：中等

（优选法选做题）那霉素发酵液生物测定，一般都规定培养温度为（37±1）°C，培养时间在16小时以上，某制药厂为了缩短时间，决定优选培养温度，试验范围固定在29～50°C，精确度要求±1°C，用分数法安排实验，令第一试点在t₁处，第二试点在t₂处，则t₁+t₂=    ．

18. 难度：中等

己知在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且tanA=
（I ）求角A大小；
（II）当a=时，求B的取值范围和b²+c²的取值范围．

19. 难度：中等

第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）：若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．
（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

20. 难度：中等

如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．
（1）证明：EM⊥BF；
（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

21. 难度：中等

两城市A和B相距20km，现计划在两城市外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．
（1）将y表示成x的函数；
（2）判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

如图，椭圆的顶点为A₁、A₂、B₁、B₂，焦点为F₁，
F₂，，

（1）求椭圆C的方程；
（2）设l是过原点的直线，直线n与l垂直相交于P点，且n与椭圆相交于A，B两点，|OP|=1，求的取值范围．

23. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，其导函数为f′（x），令φ（x）=f′（x）．
（1）设g（x）=f（x+a）+φ（x+a），求函数g（x）的极值；
（2）设
（i）求证：；
（ii）是否存在正整数n，使得当n＞n时，都有成立？若存在，求出一个满足条件的
n的值；若不存在，请说明理由．