2009年广东省重点中学高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

若集合A={1，m²}，B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

令a_n为（1+x）ⁿ⁺¹的展开式中含x^n-1项的系数，则数列{}的前n项和为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知三条不重合的直线m、n、l与两个不重合的平面α、β，有下列命题：
①若m∥n，n⊂α，则m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；
③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

由曲线y²=x和直线x=1围成图形的面积是（ ）
A．3
B．
C．
D．

6. 难度：中等

同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知f（x）=则关于图中的函数图象正确的是（ ）
A．是f（x-1）的图象
B．是f（-x）的图象
C．是f（|x|）或|f（x）|的图象
D．以上答案都不对

8. 难度：中等

已知圆x²+y²+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如图，非零向量=a，=b，且，C为垂足，设向量，则λ的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知点F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF₂为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．（1，+∞）
B．
C．（1，2）
D．

11. 难度：中等

设定义域为R的函数f（x）满足下列条件：①对任意x∈R，f（x）+f（-x）=0；②对任意x₁，x₂∈[1，a]，当x₂＞x₁时，有f（x₂）＞f（x₁）＞0．则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．f（a）＞f（0）
B．
C．
D．

12. 难度：中等

如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）
A．48
B．18
C．24
D．36

二、解答题

13. 难度：中等

某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：

产品类别	A	B	C
产品数量（件）		1300
各层抽取件数		130

由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是    件．

14. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为    ．

15. 难度：中等

右边程序框图的程序执行后输出的结果是     ．

16. 难度：中等

给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，x²≥0”的否定是“∃x∈R，x²≤0”；②若a，b∈[0，1]，则不等式成立的概率是；③函数y=log₂（x²-ax+2）在[2，+∞）上恒为正，则实数a的取值范围是．其中真命题的序号是    ．（填上所有真命题的序号）

17. 难度：中等

ABC的面积S满足≤S≤3，且•=6，AB与BC的夹角为θ．
（1）求θ的取值范围．
（2）求函数f（θ）=sin²θ+2sinθcosθ+3cos²θ的最小值．

18. 难度：中等

一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分．
（Ⅰ）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率；
（Ⅱ）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分ξ的概率分布列及数学期望．

19. 难度：中等

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A₁B₁C₁均为60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD．
（I）求证：BD⊥AA₁
（II）求二面角D-AA₁-C的余弦值；
（III）在直线CC₁上是否存在点P，使BP∥平面DA₁C₁，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e²]上有公共点，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

如图，O是坐标原点，已知三点E（0，3），F（0，1），G（0，-1），直线L：y=-1，M是直线L上的动点，H．P是坐标平面上的动点，且．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点E的直线m与点P的轨迹交于相异两点A．B，设向量夹角为θ，且，求直线m斜率的取值范围．

22. 难度：中等

对n∈N*，不等式组所表示的平面区域为D_n，D_n内的整点（横坐标与纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排成点列．（x₁，y₁）（x₂，y₂），（x₃，y₃），…，（x_n，y_n）
（1）求x_n，y_n；
（2）数列{a_n}满足a₁=x₁，且n≥2时．证明当n≥2时，；